Visa mobilmeddelande Visa alla anteckningar Visa alla anteckningar Dölj alla anteckningar
Avsnitt 6-4 : Eulerska ekvationer
I det här avsnittet vill vi leta efter lösningar till
\
omkring \({x_0} = 0\). Dessa typer av differentialekvationer kallas Euler-ekvationer.
Hålls i minnet från föregående avsnitt att en punkt är en ordinär punkt om kvoterna,
\
Det är dock möjligt att få lösningar till denna differentialekvation som inte är serielösningar. Låt oss börja med att anta att \(x>0\) (orsaken till detta kommer att framgå efter att vi arbetat med det första exemplet) och att alla lösningar är av formen,
\
Ploga nu in detta i differentialekvationen för att få,
\
Nu antog vi att \(x>0\) och därför blir detta bara noll om,
\
Real, Distinct Roots
Det finns egentligen inte så mycket att göra i det här fallet. Vi kommer att få två lösningar som kommer att bilda en grundläggande uppsättning lösningar (vi överlåter åt dig att kontrollera detta) och så kommer vår allmänna lösning att vara,
\
Med lösningen till det här exemplet kan vi nu se varför vi behövde \(x>0\). Den andra termen skulle ha division med noll om vi tillät \(x=0\) och den första termen skulle ge oss kvadratrötter av negativa tal om vi tillät \(x<0\).
Dubbla rötter
Detta fall kommer att leda till samma problem som vi har haft varje annan gång vi har stött på dubbla rötter (eller dubbla egenvärden). Vi får bara en enda lösning och kommer att behöva en andra lösning. I det här fallet kan man visa att den andra lösningen blir,
\
och därför är den allmänna lösningen i det här fallet,
\
Vi kan återigen se en anledning till att kräva \(x>0\). Om vi inte gjorde det skulle vi få alla möjliga problem med den logaritmen.
Komplexa rötter
I det här fallet antar vi att våra rötter är av formen,
\
Om vi tar den första roten får vi följande lösning.
\
Detta är ett problem eftersom vi inte vill ha komplexa lösningar, utan bara reella lösningar. Vi kan eliminera detta genom att komma ihåg att,
\
Sätt in roten i detta ger,
\
Bemärk att vi var tvungna att använda Eulerformeln också för att komma till det sista steget. Nu kan vi, som vi har gjort varje annan gång vi har sett lösningar som denna, ta den reella delen och den imaginära delen och använda dessa för våra två lösningar.
Så, i fallet med komplexa rötter blir den allmänna lösningen,
\
Ennu en gång kan vi se varför vi behövde kräva \(x > 0\).
Vi bör nu prata om hur vi hanterar \(x < 0\) eftersom det är en möjlighet vid enstaka tillfällen. För att hantera detta måste vi använda variabeltransformationen,
\
I detta fall eftersom \(x < 0\) får vi \(\eta > 0\). Definiera nu,
\
Med hjälp av kedjeregeln kan vi se att,
\
Med denna omvandling blir differentialekvationen,
\
Med andra ord, eftersom \(\eta>0\) kan vi använda arbetet ovan för att få fram lösningar till denna differentialekvation. Vi kommer också att gå tillbaka till \(x\)’s genom att använda variabeltransformationen i omvänd ordning.
\
Låt oss bara ta det verkliga, distinkta fallet först för att se vad som händer.
\
Nu skulle vi kunna göra detta för resten av fallen om vi ville, men innan vi gör det ska vi lägga märke till att om vi minns definitionen av absolut värde,
\
kan vi kombinera båda våra lösningar för detta fall till en och skriva lösningen som,
\
Vi kan göra likadant för de andra två fallen och följande lösningar för varje intervall som inte innehåller \(x = 0\).
\
Vi kan göra ytterligare en generalisering innan vi arbetar med ytterligare ett exempel. En mer allmän form av en Euler-ekvation är,
\
och vi kan fråga efter lösningar i varje intervall som inte innehåller \(x = {x_0}\). Arbetet för att generera lösningarna i detta fall är identiskt med allt arbete ovan och visas därför inte här.
Lösningarna i detta allmänna fall för varje intervall som inte innehåller \(x = a\) är,
\
Varvid rötterna är lösningar till
\