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Section 6-4 : Euler Equations
このセクションでは、
\({x_0} = 0)の周りの解を探したいと思っています。 このような微分方程式をオイラー方程式と呼びます。
前節で、ある点が常点であるのは、商、
ただし、この微分方程式の解で級数解でないものを得ることが可能です。 まず、(x>0)であると仮定し（この理由は最初の例題を解くとわかります）、すべての解が,
\
の形であるとして、これを微分方程式に差し込むと次のようになります。
\
さて、(x>0) と仮定したので、これが0になるのは、
\
Real, Distinct Roots
この場合、本当にやることがないんです。 解の基本セットを形成する2つの解が得られるので（確認はお任せします）、一般解は,
\
この例の解で、なぜ \(x>0**) が必要だったのかがわかりますね。 第2項は “Division by 0 “で、第1項は “Double Roots”(x<0) であれば、負の数の平方根が出てしまいます。
Double Roots
この場合、これまで二重根（または二重固有値）に遭遇した時と同じ問題が発生します。 解は1つしか得られないので、2つ目の解が必要になります。 この場合、第2解は,
\
であることが示されるので、この場合の一般解は,
\
であることが示されます。
Complex Roots
今回は、根が
\
の形であることを仮定します。
⑯
これに根を入れると、
⑯
最終段階までオイラー公式も使わなければならないことに注意しましょう。
つまり、複素数根の場合、一般解は,
\
もう一度、なぜ \(x > 0) を必要としたのかがわかりますね。 これを扱うには変数変換を使います。
この場合、”were \(x < 0\)” なので “\eta > 0 001 “となります。 ここで、,
\
を定義し、連鎖法則を使うと,
\
この変換で微分方程式は,
\
つまり、(˶‾᷄ -̫ ‾᷅˵) なので、上の作業でこの微分方程式の解を求めることができる。 また、変数変換を逆手にとって、୧⃛(๑⃙⃘◡̈๑⃙⃘)୨⃛まずは、実数明瞭な場合だけを見てみましょう。
\
さて、残りのケースもやろうと思えばできるのですが、その前に、絶対値の定義を思い出すと、このケースの解を2つとも1つにまとめて
\
と書けることに気づきます。他の2つのケースも同じようにすれば、以下の解は、(x = 0)を含まない区間であれば可能です。
\
もう1つ一般化してから、もう1つ例を挙げてみましょう。 オイラー方程式のより一般的な形は、
\
であり、not containing \(x = {x_0}) among any intervalにおける解を求めることができる。 この場合の解を求める作業は、上記の作業と同じなのでここでは省略します。
この一般的な場合の解は、(x = a\)を含まない任意の区間で、
Where the roots are solutions to
\…