Pokaż uwagę mobilną Pokaż wszystkie uwagi Ukryj wszystkie uwagi
Sekcja 6-4 : Równania Eulera
W tej sekcji chcemy szukać rozwiązań
równań ({x_0} = 0}). Tego typu równania różniczkowe nazywane są równaniami Eulera.
Przypomnijmy sobie z poprzedniego rozdziału, że punkt jest punktem zwyczajnym, jeśli ilorazy,
Jednakże możliwe jest uzyskanie rozwiązań tego równania różniczkowego, które nie są rozwiązaniami szeregowymi. Zacznijmy od założenia, że \(x>0\) (powód tego będzie widoczny po tym, jak przepracujemy pierwszy przykład) i że wszystkie rozwiązania są postaci,
\
Teraz wpiszmy to do równania różniczkowego, aby otrzymać,
Teraz założyliśmy, że \(x>0\), a więc będzie to zero tylko wtedy, gdy,
\(x>0\)
Realne, wyraźne korzenie
W tym przypadku naprawdę nie ma wiele do zrobienia. Otrzymamy dwa rozwiązania, które będą tworzyły podstawowy zbiór rozwiązań (sprawdzenie tego pozostawiamy Tobie), a więc naszym ogólnym rozwiązaniem będzie,
Mając rozwiązanie tego przykładu, możemy teraz zobaczyć, dlaczego wymagaliśmy \(x>0\). Drugi człon miałby dzielenie przez zero, gdybyśmy pozwolili na \(x=0\), a pierwszy człon dałby nam pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych, gdybyśmy pozwolili na \(x<0\).
Podwójne korzenie
Ten przypadek doprowadzi do tego samego problemu, który mieliśmy za każdym razem, gdy natrafialiśmy na podwójne korzenie (lub podwójne wartości własne). Otrzymujemy tylko jedno rozwiązanie i będziemy potrzebować drugiego rozwiązania. W tym przypadku można pokazać, że drugim rozwiązaniem będzie,
\70> a więc rozwiązaniem ogólnym w tym przypadku jest, \70> Ponownie widzimy powód, dla którego wymagane jest \(x>0\). Gdybyśmy tego nie zrobili, mielibyśmy różnego rodzaju problemy z tym logarytmem.
Korzenie złożone
W tym przypadku będziemy zakładać, że nasze korzenie są postaci,
Jeśli weźmiemy pierwszy korzeń, otrzymamy następujące rozwiązanie.
Jest to problem, ponieważ nie chcemy rozwiązań złożonych, tylko rzeczywiste. Możemy to wyeliminować przypominając sobie, że,
Podłączenie pierwiastka do tego daje,
Zauważ, że musieliśmy użyć formuły Eulera, jak również dostać się do ostatniego kroku. Teraz, tak jak robiliśmy to za każdym razem, gdy widzieliśmy takie rozwiązania, możemy wziąć część rzeczywistą i część urojoną i użyć ich dla naszych dwóch rozwiązań.
Więc, w przypadku korzeni złożonych, rozwiązaniem ogólnym będzie,
Po raz kolejny widzimy, dlaczego potrzebowaliśmy wymagać \(x > 0\).
Powinniśmy teraz porozmawiać o tym, jak radzić sobie z \(x < 0\), ponieważ jest to możliwe od czasu do czasu. Aby sobie z tym poradzić, musimy użyć przekształcenia zmiennej,
W tym przypadku, ponieważ \(x < 0\) otrzymamy \(\eta > 0\). Teraz zdefiniujmy,
\u200>Potem używając reguły łańcuchowej możemy zobaczyć, że, \u200>Po tej transformacji równanie różniczkowe staje się, \u200> Innymi słowy, ponieważ \u200> możemy użyć powyższej pracy, aby uzyskać rozwiązania tego równania różniczkowego. Wrócimy również do ∗ poprzez zastosowanie odwrotnej transformacji zmiennych.
Pierw zajmijmy się prawdziwym, wyraźnym przypadkiem, aby zobaczyć, co się stanie.
Podobnie możemy zrobić dla pozostałych dwóch przypadków i następujących rozwiązań dla dowolnego przedziału nie zawierającego x = 0.
Przed opracowaniem jeszcze jednego przykładu możemy dokonać jeszcze jednego uogólnienia. Bardziej ogólną postacią równania Eulera jest,
i możemy poprosić o rozwiązania w dowolnym przedziale nie zawierającym \(x = {x_0}}). Praca nad wygenerowaniem rozwiązań w tym przypadku jest identyczna z całą powyższą pracą, więc nie jest tu pokazana.
Rozwiązania w tym ogólnym przypadku dla dowolnego przedziału nie zawierającego x = a są,
gdzie korzenie są rozwiązaniami