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Secção 6-4 : Equações de Euler
Nesta secção queremos procurar soluções para
\
around \({x_0} = 0\). Estes tipos de equações diferenciais são chamadas Equações de Euler.
Recall from the previous section that a point is an ordinary point if the quotients,
\
No entanto, é possível obter soluções para esta equação diferencial que não são soluções em série. Vamos começar assumindo que \(x>0\) (a razão para isto será aparente após trabalharmos o primeiro exemplo) e que todas as soluções são da forma,
\
Agora ligue isto à equação diferencial para obter,
\
Agora, assumimos que \(x>0\) e portanto isto só será zero se,
\
Real, Raízes Distintas
Não há muito o que fazer neste caso. Vamos obter duas soluções que irão formar um conjunto fundamental de soluções (vamos deixar que você verifique isto) e assim a nossa solução geral será,
Com a solução para este exemplo podemos agora ver porque precisávamos \\\(x>0>). O segundo termo teria divisão por zero se permitirmos \(x=0\) e o primeiro termo nos daria raízes quadradas de números negativos se permitirmos \(x<0\).
Double Roots
Este caso nos levará ao mesmo problema que temos tido sempre que encontramos raízes duplas (ou valores próprios duplos). Só conseguimos uma única solução e vamos precisar de uma segunda solução. Neste caso pode ser mostrado que a segunda solução será,
\
e assim a solução geral neste caso é,
\
Podemos novamente ver uma razão para requerer \(x>0\). Se não o fizéssemos teríamos todo o tipo de problemas com esse logaritmo.
Raízes Complexas
Neste caso vamos assumir que as nossas raízes são da forma,
\
Se tomarmos a primeira raiz vamos ter a seguinte solução.
\
Este é um problema uma vez que não queremos soluções complexas, só queremos soluções reais. Podemos eliminar isso lembrando que,
\
Plugging the root into this gives,
\
Nota que tivemos que usar a fórmula de Euler também para chegar ao passo final. Agora, como temos feito sempre que vimos soluções como esta, podemos pegar na parte real e na parte imaginária e usá-las para as nossas duas soluções.
Então, no caso de raízes complexas a solução geral será,
\\
Após novamente, podemos ver porque é que precisávamos de requerer \(x > 0\).
Devemos agora falar sobre como lidar com \(x < 0\) uma vez que isso é uma possibilidade de vez em quando. Para lidar com isso precisamos usar a transformação da variável,
\\
Neste caso desde \(x < 0\) vamos obter \(\eta > 0\). Agora, defina,
\\
Então, usando a regra da corrente podemos ver que,
\
Com esta transformação a equação diferencial torna-se,
\
Em outras palavras, já que \(\eta>0\) podemos usar o trabalho acima para obter soluções para esta equação diferencial. Voltaremos também a \(x\)’s usando a transformação da variável em reverso.
\
Vejamos primeiro o caso real e distinto para ver o que acontece.
\\
Agora, podemos fazer isto para o resto dos casos se quisermos, mas antes de o fazermos vamos notar que se recordarmos a definição de valor absoluto,
\
podemos combinar ambas as nossas soluções para este caso numa só e escrever a solução como,
\
Podemos fazer o mesmo para os outros dois casos e as seguintes soluções para qualquer intervalo que não contenha \(x = 0\).
\
Podemos fazer mais uma generalização antes de trabalharmos em mais um exemplo. Uma forma mais geral de uma Equação de Euler é,
\
e podemos pedir soluções em qualquer intervalo que não contenha \(x = {x_0}}}. O trabalho para gerar as soluções neste caso é idêntico a todo o trabalho acima e por isso não é mostrado aqui.
As soluções neste caso geral para qualquer intervalo que não contenha \(x = a\) são,
\
Onde as raízes são soluções para
\