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Sección 6-4 : Ecuaciones de Euler
En esta sección queremos buscar soluciones a
alrededor de \({x_0} = 0\). Este tipo de ecuaciones diferenciales se llaman Ecuaciones de Euler.
Recordemos de la sección anterior que un punto es un punto ordinario si los cocientes,
Sin embargo, es posible obtener soluciones a esta ecuación diferencial que no sean soluciones en serie. Empecemos por suponer que \(x>0\) (la razón de esto será evidente después de trabajar el primer ejemplo) y que todas las soluciones son de la forma,
\\Nde
Ahora enchufe esto en la ecuación diferencial para obtener,
\NAhora, asumimos que \N(x>0\) y por lo tanto esto sólo será cero si, \N
Raíces Reales, Distintas
Realmente no hay mucho que hacer en este caso. Obtendremos dos soluciones que formarán un conjunto fundamental de soluciones (dejaremos que lo compruebes) y así nuestra solución general será,
\Nla de
Con la solución de este ejemplo podemos ver ahora por qué requerimos \N(x>0\). El segundo término tendría división por cero si permitiéramos \(x=0\) y el primer término nos daría raíces cuadradas de números negativos si permitiéramos \(x<0\).
Raíces dobles
Este caso nos llevará al mismo problema que hemos tenido cada vez que nos hemos encontrado con raíces dobles (o valores propios dobles). Sólo obtendremos una única solución y necesitaremos una segunda solución. En este caso, se puede demostrar que la segunda solución será,
\ 70> y por lo tanto la solución general en este caso es, \ 70> Podemos ver de nuevo una razón para requerir \ (x>0\). Si no lo hiciéramos tendríamos todo tipo de problemas con ese logaritmo.
Raíces complejas
En este caso estaremos suponiendo que nuestras raíces son de la forma,
Si tomamos la primera raíz obtendremos la siguiente solución.
Esto es un problema ya que no queremos soluciones complejas, sólo queremos soluciones reales. Podemos eliminar esto recordando que,
\Ncontrando la raíz en esto da, \N
Nota que tuvimos que usar la fórmula de Euler también para llegar al último paso. Ahora, como hemos hecho cada vez que hemos visto soluciones como esta, podemos tomar la parte real y la parte imaginaria y utilizarlas para nuestras dos soluciones.
Así que, en el caso de las raíces complejas, la solución general será,
Una vez más, podemos ver por qué necesitábamos requerir \(x > 0\).
Ahora debemos hablar de cómo tratar con \(x < 0\) ya que es una posibilidad en ocasiones. Para tratar con esto tenemos que utilizar la transformación de la variable,
En este caso ya que \(x < 0\) obtendremos \(\eta > 0\). Ahora, definamos,
\\N- 70>Entonces usando la regla de la cadena podemos ver que, \N- 70>Con esta transformación la ecuación diferencial se convierte en, \N- 70>En otras palabras, ya que \N(\eta> 0\N-) podemos usar el trabajo anterior para obtener soluciones a esta ecuación diferencial. También vamos a volver a \(x\)’s utilizando la transformación de la variable a la inversa. \N-Tomemos primero el caso real y distinto para ver qué pasa.
Ahora, podríamos hacer esto para el resto de los casos si quisiéramos, pero antes de hacerlo observemos que si recordamos la definición de valor absoluto,
podemos combinar nuestras dos soluciones para este caso en una sola y escribir la solución como,
Podemos hacer lo mismo para los otros dos casos y las siguientes soluciones para cualquier intervalo que no contenga \(x = 0\).
\\N –
Podemos hacer una generalización más antes de trabajar un ejemplo más. Una forma más general de una Ecuación de Euler es,
\70>y podemos pedir soluciones en cualquier intervalo que no contenga a \(x = {x_0}\). El trabajo para generar las soluciones en este caso es idéntico a todo el trabajo anterior y por eso no se muestra aquí.
Las soluciones en este caso general para cualquier intervalo que no contenga \(x = a\) son,
Donde las raíces son soluciones de
.