Afișează notificare mobilă Afișează toate notele Ascunde toate notele
Secțiunea 6-4 : Ecuațiile lui Euler
În această secțiune dorim să căutăm soluții pentru
\
în jurul lui \({x_0} = 0\). Aceste tipuri de ecuații diferențiale se numesc Ecuații Euler.
Reamintim din secțiunea anterioară că un punct este un punct obișnuit dacă cuantele,
\
Cu toate acestea, este posibil să obținem soluții ale acestei ecuații diferențiale care nu sunt soluții în serie. Să începem prin a presupune că \(x>0\) (motivul pentru aceasta va fi evident după ce vom lucra la primul exemplu) și că toate soluțiile sunt de forma,
\70>Acum introduceți acest lucru în ecuația diferențială pentru a obține, \
Acum, am presupus că \(x>0\) și astfel aceasta va fi zero numai dacă,
\
Rădăcini reale, distincte
Nu sunt cu adevărat multe de făcut în acest caz. Vom obține două soluții care vor forma un set fundamental de soluții (vă lăsăm pe voi să verificați acest lucru) și astfel soluția noastră generală va fi,
\
Cu soluția la acest exemplu putem vedea acum de ce am cerut \(x>0\). Al doilea termen ar avea diviziune cu zero dacă am permite \(x=0\) și primul termen ne-ar da rădăcini pătrate ale numerelor negative dacă am permite \(x<0\).
Rădăcini duble
Acest caz va duce la aceeași problemă pe care am avut-o de fiecare dată când am întâlnit rădăcini duble (sau valori proprii duble). Obținem doar o singură soluție și vom avea nevoie de o a doua soluție. În acest caz se poate demonstra că a doua soluție va fi,
\
și astfel soluția generală în acest caz este,
\
Vezi din nou un motiv pentru a cere \(x>0\). Dacă nu am fi făcut-o, am fi avut tot felul de probleme cu acest logaritm.
Rădăcini complexe
În acest caz vom presupune că rădăcinile noastre sunt de forma,
\
Dacă luăm prima rădăcină, vom obține următoarea soluție.
\
Aceasta este o problemă, deoarece nu dorim soluții complexe, ci doar soluții reale. Putem elimina această problemă amintindu-ne că,
\
Prin introducerea rădăcinii în acest lucru rezultă,
\
Rețineți că a trebuit să folosim și formula lui Euler pentru a ajunge la pasul final. Acum, așa cum am făcut de fiecare dată când am văzut soluții ca aceasta, putem lua partea reală și partea imaginară și să le folosim pentru cele două soluții ale noastre.
Acum, în cazul rădăcinilor complexe, soluția generală va fi,
\
Încă o dată, putem vedea de ce a fost nevoie să cerem \(x > 0\).
Ar trebui să vorbim acum despre cum să ne descurcăm cu \(x < 0\), deoarece aceasta este o posibilitate ocazională. Pentru a face față acestei situații trebuie să folosim transformarea variabilei,
\
În acest caz, deoarece \(x < 0\) vom obține \(\eta > 0\). Acum, definiți,
\
Apoi, folosind regula lanțului putem vedea că,
\
Cu această transformare, ecuația diferențială devine,
\
Cu alte cuvinte, din moment ce \(\eta>0\) putem folosi munca de mai sus pentru a obține soluții la această ecuație diferențială. De asemenea, ne vom întoarce la \(x\)’s folosind transformarea variabilei în sens invers.
\
Să luăm mai întâi cazul real, distinct, pentru a vedea ce se întâmplă.
\70>Acum, am putea face acest lucru pentru restul cazurilor dacă am dori, dar înainte de a face acest lucru să observăm că, dacă ne amintim definiția valorii absolute, \70> putem combina ambele noastre soluții pentru acest caz într-una singură și să scriem soluția ca, \70> Putem face la fel pentru celelalte două cazuri și următoarele soluții pentru orice interval care nu conține \(x = 0\). \
Potem face încă o generalizare înainte de a lucra încă un exemplu. O formă mai generală a unei ecuații Euler este,
\
și putem cere soluții în orice interval care nu conține \(x = {x_0}\). Munca pentru generarea soluțiilor în acest caz este identică cu toată munca de mai sus și deci nu este prezentată aici.
Soluțiile în acest caz general pentru orice interval care nu conține \(x = a\\) sunt,
\
Unde rădăcinile sunt soluții la
\\