Mobil értesítés megjelenítése Összes jegyzet megjelenítése Összes jegyzet elrejtése
6-4. szakasz : Euler-egyenletek
Ebben a szakaszban az \({x_0} = 0\) körül keresünk megoldásokat
\
. Az ilyen típusú differenciálegyenleteket Euler-egyenleteknek nevezzük.
Emlékezzünk vissza az előző szakaszból, hogy egy pont akkor közönséges pont, ha a kvóták,
\
Mégis lehet olyan megoldásokat kapni erre a differenciálegyenletre, amelyek nem soros megoldások. Kezdjük azzal, hogy feltételezzük, hogy \(x>0\) (ennek oka az első példa kidolgozása után fog kiderülni), és hogy minden megoldás a következő alakú,
\
Most ezt beillesztjük a differenciálegyenletbe, hogy megkapjuk,
\
Most feltételeztük, hogy \(x>0\) és így ez csak akkor lesz nulla, ha,
\
valódi, megkülönböztetett gyökök
Nincs sok tennivaló ebben az esetben. Két olyan megoldást fogunk kapni, amelyek egy alapvető megoldási halmazt alkotnak (ennek ellenőrzését rátok bízzuk), és így az általános megoldásunk az lesz,
\
A példa megoldásával most már látjuk, hogy miért volt szükségünk \(x>0\). A második tag nullával való osztás lenne, ha megengednénk \(x=0\), az első tag pedig negatív számok négyzetgyökét adná, ha megengednénk \(x<0\).
Kettős gyök
Ez az eset ugyanahhoz a problémához vezet, mint minden más esetben, amikor kettős gyökkel (vagy kettős sajátértékkel) találkoztunk. Csak egyetlen megoldást kapunk, és szükségünk lesz egy második megoldásra. Ebben az esetben megmutatható, hogy a második megoldás az lesz,
\
és így az általános megoldás ebben az esetben az,
\
Még egyszer láthatjuk, hogy miért van szükség \(x>0\). Ha nem így lenne, akkor mindenféle problémáink lennének ezzel a logaritmussal.
Komplex gyökök
Ebben az esetben feltételezzük, hogy a gyökeink olyan alakúak,
\
Ha az első gyökből vesszük, akkor a következő megoldást kapjuk.
\
Ez azért probléma, mert nem komplex megoldásokat akarunk, hanem csak valós megoldásokat. Ezt kiküszöbölhetjük, ha felidézzük, hogy,
\ \
A gyök beillesztésével megkapjuk,
\
Megjegyezzük, hogy az utolsó lépéshez az Euler-formulát is használnunk kellett. Most, mint minden más alkalommal, amikor ilyen megoldásokat láttunk, vehetjük a valós és a képzetes részt, és ezeket használhatjuk a két megoldásunkhoz.
Az általános megoldás tehát komplex gyök esetén az lesz,
\
Még egyszer láthatjuk, miért volt szükségünk \(x > 0\).
Most arról kell beszélnünk, hogyan kezeljük \(x < 0\), mivel ez is előfordulhat alkalmanként. Ennek kezeléséhez a változótranszformációt kell használnunk,
\\
Ez esetben, mivel \(x < 0\), \(\eta > 0\) lesz. Most definiáljuk,
\
Azután a láncszabály segítségével láthatjuk, hogy,
\
Ezzel az átalakítással a differenciálegyenlet a következő lesz,
\
Más szóval, mivel \(\(\eta>0\), a fenti munkával megkaphatjuk ennek a differenciálegyenletnek a megoldását. Visszatérünk \(x\)’-hez is, ha a változótranszformációt fordítva használjuk.
\
Vegyük először csak a valós, megkülönböztetett esetet, hogy lássuk, mi történik.
\
Most, ha akarnánk, megtehetnénk ezt a többi esetre is, de előtte vegyük észre, hogy ha felidézzük az abszolút érték definícióját,
\
az erre az esetre adott két megoldásunkat egybe tudjuk vonni, és a megoldást így írhatjuk fel,
\
A másik két esetre és a következő megoldásokra is hasonlóan járhatunk el, bármely olyan intervallumra, amely nem tartalmaz \(x = 0\).
\
Még egy általánosítást tehetünk, mielőtt még egy példával dolgoznánk. Az Euler-egyenlet általánosabb formája,
\
és kérdezhetjük a megoldásokat bármely olyan intervallumra, amely nem tartalmazza \(x = {x_0}\). A megoldások előállításához szükséges munka ebben az esetben megegyezik a fenti munkával, ezért itt nem mutatjuk be.
A megoldások ebben az általános esetben bármely, \(x = a\)-t nem tartalmazó intervallumra a következők,
\
Ahol a gyökerek a
\