Vis mobilmeddelelse Vis alle noter Vis alle noter Skjul alle noter
Afsnit 6-4 : Euler-ligninger
I dette afsnit ønsker vi at lede efter løsninger til
\
omkring \({x_0} = 0\). Disse typer af differentialligninger kaldes Euler-ligninger.
Husk fra forrige afsnit, at et punkt er et ordinært punkt, hvis kvotienterne,
\
Det er dog muligt at få løsninger til denne differentialligning, som ikke er serieløsninger. Lad os starte med at antage, at \(x>0\) (grunden til dette vil fremgå, når vi har arbejdet med det første eksempel) og at alle løsninger er af formen,
\
Sæt nu dette ind i differentialligningen for at få,
\
Nu har vi antaget, at \(x>0\), og derfor vil dette kun være nul, hvis,
\
Real, Distinct Roots
Der er virkelig ikke meget at gøre i dette tilfælde. Vi får to løsninger, som vil danne et fundamentalt sæt af løsninger (vi overlader det til dig at kontrollere dette), og så vil vores generelle løsning være,
\
Med løsningen til dette eksempel kan vi nu se, hvorfor vi havde brug for \(x>0\). Det andet udtryk ville have division med nul, hvis vi tillod \(x=0\), og det første udtryk ville give os kvadratrødder af negative tal, hvis vi tillod \(x<0\).
Dobbelte rødder
Dette tilfælde vil føre til det samme problem, som vi har haft hver anden gang, vi er stødt på dobbelte rødder (eller dobbelte egenværdier). Vi får kun en enkelt løsning og vil have brug for en anden løsning. I dette tilfælde kan det vises, at den anden løsning vil være,
\
og derfor er den generelle løsning i dette tilfælde,
\
Vi kan igen se en grund til at kræve \(x>0\). Hvis vi ikke gjorde det, ville vi få alle mulige problemer med denne logaritme.
Komplekse rødder
I dette tilfælde vil vi antage, at vores rødder er af formen,
\
Hvis vi tager den første rod, får vi følgende løsning.
\
Dette er et problem, da vi ikke ønsker komplekse løsninger, vi ønsker kun reelle løsninger. Vi kan eliminere dette ved at huske på, at,
\
Sætter vi roden ind i dette giver det,
\
Bemærk, at vi også skulle bruge Eulerformlen for at komme til det sidste trin. Som vi har gjort hver anden gang, vi har set løsninger som denne, kan vi nu tage realdelen og imaginærdelen og bruge dem til vores to løsninger.
Så i tilfælde af komplekse rødder vil den generelle løsning være,
\
En gang til kan vi se, hvorfor vi var nødt til at kræve \(x > 0\).
Vi bør nu tale om, hvordan vi skal håndtere \(x < 0\), da det er en mulighed ved lejlighed. For at håndtere dette skal vi bruge variabeltransformationen,
\
I dette tilfælde da \(x < 0\) vil vi få \(\eta > 0\). Definér nu,
\
Så kan vi ved hjælp af kædereglen se, at,
\
Med denne transformation bliver differentialligningen,
\
Med andre ord, da \(\eta>0\) kan vi bruge ovenstående arbejde til at få løsninger til denne differentialligning. Vi vil også gå tilbage til \(x\)’s ved at bruge variabeltransformationen omvendt.
\
Lad os bare tage det reelle, adskilte tilfælde først for at se, hvad der sker.
\
Nu kunne vi gøre dette for resten af tilfældene, hvis vi ville, men før vi gør det, skal vi bemærke, at hvis vi husker definitionen af absolutte værdier,
\
kan vi kombinere begge vores løsninger til dette tilfælde til én og skrive løsningen som,
\
Vi kan gøre det samme for de to andre tilfælde og de følgende løsninger for ethvert interval, der ikke indeholder \(x = 0\).
\
Vi kan foretage endnu en generalisering, inden vi arbejder med endnu et eksempel. En mere generel form af en Euler-ligning er,
\
og vi kan spørge efter løsninger i ethvert interval, der ikke indeholder \(x = {x_0}\). Arbejdet med at generere løsningerne i dette tilfælde er identisk med alt det ovenstående arbejde og er derfor ikke vist her.
Løsningerne i dette generelle tilfælde for ethvert interval, der ikke indeholder \(x = a\), er,
\
Hvor rødderne er løsninger til
\