Varmed värdet av en logaritm i sig självt kan vara positivt eller negativt, är logfunktionens bas och logfunktionens argument en annan historia.
Argumentet för en logfunktion kan bara ta emot positiva argument. Med andra ord är de enda tal som du kan sätta in i en logfunktion positiva tal. Negativa tal, och talet 0, är inte acceptabla argument att plugga in i en logaritm, men varför?
Roängen har mer att göra med logaritmens bas än med logaritmens argument. För att förstå varför måste vi förstå att logaritmer faktiskt är som exponenter: basen för en logaritm är också basen för en potensfunktion.
När du har en potensfunktion med basen 0 kommer resultatet av den potensfunktionen alltid att vara 0. Med andra ord finns det ingen exponent du kan sätta på 0 som inte ger dig tillbaka värdet 0. Eller, uttryckt på ett annat sätt, 0 upphöjt till vad som helst är alltid fortfarande 0. På samma sätt är 1 upphöjt till vad som helst alltid fortfarande 1.
Om du upphöjer ett negativt tal till ett positivt tal som inte är ett heltal, utan i stället en bråkdel eller en decimal, kan du få ett negativt tal under en kvadratrot. Och som du vet kan vi inte hantera ett negativt tal under en kvadratrot, såvida vi inte börjar med imaginära tal.
Så 0, 1 och alla negativa tal utgör ett potentiellt problem som bas för en potensfunktion. Och om dessa tal inte på ett tillförlitligt sätt kan vara basen för en potensfunktion kan de inte heller på ett tillförlitligt sätt vara basen för en logaritm.
Av den anledningen tillåter vi endast andra positiva tal än 1 som bas för logaritmen. Vad vi då vet är att om basen för vår potensfunktion är positiv, spelar det ingen roll vilken exponent vi sätter på basen (det kan vara ett positivt tal, ett negativt tal eller 0), så kommer den potensfunktionen att komma ut som ett positivt tal.
Så sammanfattningsvis, eftersom vi bara tillåter att logaritmens bas är ett positivt tal som inte är lika med 1, så betyder det att argumentet för logaritmen bara kan vara ett positivt tal. Vilket innebär att för att skydda våra baser måste vi bara tillåta positiva argument inuti logaritmen:
-
Logaritmens bas: Kan endast vara positiva tal som inte är lika med 1
-
Argumentet i logaritmen: Logaritmens bas: Kan endast vara positiva tal som inte är lika med 1: Kan endast vara positiva tal (på grund av begränsningen av basen)
-
Värdet du får för logaritmen efter att ha lagt in basen och argumentet: Kan vara positiva eller negativa tal
0:00 // Argumentet kan inte vara negativt
0:19 // Delar av logaritmen
0:30 // Logaritmens argument kan inte vara negativt på grund av hur logaritmens bas är definierad
0:47 // Logaritmen är en potensfunktion
1:36 // Vilka slags tal kan logaritmens bas egentligen vara?
3:11 // Hur påverkar logaritmens bas logaritmens argument?
4:32 // Sammanfattning och slutsats