De waarde van een logaritme zelf kan positief of negatief zijn, maar de basis van de logfunctie en het argument van de logfunctie zijn een ander verhaal.
Het argument van een logfunctie kan alleen positieve argumenten aannemen. Met andere woorden, de enige getallen die je in een log-functie kunt stoppen zijn positieve getallen. Negatieve getallen, en het getal 0, zijn geen acceptabele argumenten om in een logaritme te stoppen, maar waarom?
De reden heeft meer te maken met de basis van het logaritme dan met het argument van het logaritme. Om te begrijpen waarom, moeten we begrijpen dat logaritmen eigenlijk net exponenten zijn: de basis van een logaritme is ook de basis van een machtsfunctie.
Wanneer je een machtsfunctie hebt met basis 0, zal het resultaat van die machtsfunctie altijd 0 zijn. Met andere woorden, er is geen exponent die je op 0 kunt zetten zonder dat je een waarde van 0 terugkrijgt. Of anders gezegd, 0 verheven tot iets is altijd nog 0. Op dezelfde manier is 1 verheven tot iets altijd nog 1.
Als je een negatief getal verheft tot een positief getal dat geen geheel getal is, maar in plaats daarvan een breuk of een decimaal, dan krijg je misschien een negatief getal onder een vierkantswortel. En zoals je weet, tenzij we in imaginaire getallen komen, kunnen we niet omgaan met een negatief getal onder een vierkantswortel.
Dus 0, 1, en elk negatief getal vormen een potentieel probleem als basis van een machtsfunctie. En als die getallen niet betrouwbaar de basis kunnen zijn van een machtsfunctie, dan kunnen ze ook niet betrouwbaar de basis zijn van een logaritme.
Om die reden staan we alleen positieve getallen anders dan 1 toe als basis van het logaritme. Dan weten we dat, als de basis van onze machtsfunctie positief is, het niet uitmaakt welke exponent we op die basis zetten (het kan een positief getal, een negatief getal of 0 zijn), die machtsfunctie er als een positief getal uitkomt.
Dus samengevat, omdat we alleen toestaan dat de basis van de log een positief getal is dat niet gelijk is aan 1, betekent dit dat het argument van de logaritme alleen een positief getal kan zijn. Dat betekent dat we, om onze grondslagen te beschermen, alleen positieve argumenten in de logaritme moeten toestaan:
-
De basis van de logaritme: Kan enkel positieve getallen zijn die niet gelijk zijn aan 1
-
Het argument van de logaritme: Kan alleen positieve getallen zijn (vanwege de beperking op de basis)
-
De waarde die je voor de logaritme krijgt nadat je de basis en het argument hebt ingevoerd: Kunnen positieve of negatieve getallen zijn
0:00 // Het argument kan niet negatief zijn
0:19 // Delen van de logaritme
0:30 // Het argument van de logaritme kan niet negatief zijn door hoe de basis van de logaritme is gedefinieerd
0:47 // De logaritme is een machtsfunctie
1:36 // Wat voor getallen kan de basis van de logaritme eigenlijk zijn?
3:11 // Wat voor effect heeft de basis van de logaritme op het argument van de logaritme?
4:32 // Samenvatting en conclusie