Während der Wert eines Logarithmus selbst positiv oder negativ sein kann, sind die Basis der Logarithmusfunktion und das Argument der Logarithmusfunktion eine andere Geschichte.
Das Argument einer Logarithmusfunktion kann nur positive Argumente annehmen. Mit anderen Worten, die einzigen Zahlen, die man in eine log-Funktion einfügen kann, sind positive Zahlen. Negative Zahlen und die Zahl 0 sind keine akzeptablen Argumente für einen Logarithmus, aber warum?
Der Grund hat mehr mit der Basis des Logarithmus zu tun als mit dem Argument des Logarithmus. Um zu verstehen, warum, müssen wir verstehen, dass Logarithmen eigentlich wie Exponenten sind: Die Basis eines Logarithmus ist auch die Basis einer Potenzfunktion.
Wenn man eine Potenzfunktion mit der Basis 0 hat, wird das Ergebnis dieser Potenzfunktion immer 0 sein. Mit anderen Worten, es gibt keinen Exponenten, den man auf 0 setzen kann, der nicht den Wert 0 zurückgibt. Oder anders ausgedrückt: 0, die auf irgendetwas erhöht wird, ist immer noch 0. Genauso ist 1, die auf irgendetwas erhöht wird, immer noch 1.
Wenn man eine negative Zahl auf eine positive Zahl erhöht, die keine ganze Zahl ist, sondern ein Bruch oder eine Dezimalzahl, kann es sein, dass man eine negative Zahl unter einer Quadratwurzel erhält. Und wie du weißt, können wir mit einer negativen Zahl unter einer Quadratwurzel nicht umgehen, es sei denn, wir haben es mit imaginären Zahlen zu tun.
So stellen 0, 1 und jede negative Zahl ein potenzielles Problem als Basis einer Potenzfunktion dar. Und wenn diese Zahlen nicht zuverlässig die Basis einer Potenzfunktion sein können, dann können sie auch nicht zuverlässig die Basis eines Logarithmus sein.
Aus diesem Grund lassen wir nur positive Zahlen außer 1 als Basis des Logarithmus zu. Wenn die Basis unserer Potenzfunktion positiv ist, spielt es keine Rolle, welchen Exponenten wir auf diese Basis setzen (es könnte eine positive Zahl, eine negative Zahl oder 0 sein), die Potenzfunktion wird eine positive Zahl ergeben.
Zusammenfassend lässt sich also sagen, dass die Basis des Logarithmus nur eine positive Zahl ungleich 1 sein darf, was bedeutet, dass das Argument des Logarithmus nur eine positive Zahl sein kann. Das bedeutet, dass wir, um unsere Basen zu schützen, nur positive Argumente innerhalb des Logarithmus zulassen müssen:
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Die Basis des Logarithmus: Kann nur positive Zahlen ungleich 1 sein
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Das Argument des Logarithmus: Kann nur positive Zahlen sein (wegen der Einschränkung der Basis)
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Der Wert, den man für den Logarithmus erhält, nachdem man die Basis und das Argument eingesetzt hat: Können positive oder negative Zahlen sein
0:00 // Das Argument kann nicht negativ sein
0:19 // Teile des Logarithmus
0:30 // Das Argument des Logarithmus kann nicht negativ sein, weil die Basis des Logarithmus definiert ist
0:47 // Der Logarithmus ist eine Potenzfunktion
1:36 // Was für Zahlen kann die Basis des Logarithmus eigentlich sein?
3:11 // Wie wirkt sich die Basis des Logarithmus auf das Argument des Logarithmus aus?
4:32 // Zusammenfassung und Fazit