Aunque el valor de un logaritmo en sí mismo puede ser positivo o negativo, la base de la función logarítmica y el argumento de la función logarítmica son una historia diferente.
El argumento de una función logarítmica sólo puede tomar argumentos positivos. En otras palabras, los únicos números que se pueden introducir en una función logarítmica son números positivos. Los números negativos, y el número 0, no son argumentos aceptables para enchufar en un logaritmo, pero ¿por qué?
La razón tiene más que ver con la base del logaritmo que con el argumento del logaritmo. Para entender por qué, tenemos que entender que los logaritmos son en realidad como los exponentes: la base de un logaritmo es también la base de una función potencia.
Cuando tienes una función potencia con base 0, el resultado de esa función potencia siempre va a ser 0. En otras palabras, no hay exponente que puedas poner en 0 que no te devuelva un valor de 0. O, dicho de otra manera, 0 elevado a cualquier cosa sigue siendo siempre 0. Del mismo modo, 1 elevado a cualquier cosa sigue siendo siempre 1.
Si elevas un número negativo a un número positivo que no es un entero, sino una fracción o un decimal, podrías terminar con un número negativo debajo de una raíz cuadrada. Y como sabes, a menos que nos metamos en los números imaginarios, no podemos tratar con un número negativo debajo de una raíz cuadrada.
Así que 0, 1, y cada número negativo presenta un problema potencial como la base de una función de potencia. Y si esos números no pueden ser de forma fiable la base de una función potencia, entonces tampoco pueden ser de forma fiable la base de un logaritmo.
Por esa razón, sólo permitimos números positivos distintos de 1 como base del logaritmo. Entonces lo que sabemos es que, si la base de nuestra función potencia es positiva, no importa qué exponente le pongamos a esa base (puede ser un número positivo, un número negativo, o 0), esa función potencia va a salir como un número positivo.
En resumen, como sólo permitimos que la base del logaritmo sea un número positivo no igual a 1, eso significa que el argumento del logaritmo sólo puede ser un número positivo. Lo que significa que para proteger nuestras bases, tenemos que permitir sólo argumentos positivos dentro del logaritmo:
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La base del logaritmo: Sólo pueden ser números positivos no iguales a 1
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El argumento del logaritmo: Sólo pueden ser números positivos (debido a la restricción de la base)
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El valor que se obtiene para el logaritmo después de enchufar la base y el argumento: Pueden ser números positivos o negativos
0:00 // El argumento no puede ser negativo
0:19 // Partes del logaritmo
0:30 // El argumento del logaritmo no puede ser negativo debido a cómo está definida la base del logaritmo
0:47 // El logaritmo es una función de potencia
1:36 // ¿Qué tipo de números puede ser realmente la base del logaritmo?
3:11 // ¿Cómo afecta la base del logaritmo al argumento del logaritmo?
4:32 // Resumen y conclusión