Näytä mobiili-ilmoitus Näytä kaikki muistiinpanot Piilota kaikki muistiinpanot
Luku 6-4 : Eulerin yhtälöt
Tässä luvussa haluamme etsiä ratkaisuja
\
yhtälön \({x_0} = 0\) ympäriltä. Tämäntyyppisiä differentiaaliyhtälöitä kutsutaan Eulerin yhtälöiksi.
Muistetaan edellisestä kappaleesta, että piste on tavallinen piste, jos kvotenssit,
\
On kuitenkin mahdollista saada tähän differentiaaliyhtälöön ratkaisuja, jotka eivät ole sarjaratkaisuja. Aloitetaan olettamalla, että \(x>0\) (syy tähän selviää, kun olemme työstäneet ensimmäisen esimerkin) ja että kaikki ratkaisut ovat muotoa,
\
Nyt kytketään tämä differentiaaliyhtälöön, jolloin saadaan,
\
Nyt oletimme, että \(x>0\), joten tämä on nolla vain, jos,
\
todelliset, erottuvat juuret
Tässä tapauksessa ei ole oikeastaan paljon tehtävää. Saamme kaksi ratkaisua, jotka muodostavat perusratkaisujoukon (jätämme tämän tarkistamisen sinun tehtäväksi), joten yleinen ratkaisumme on,
\
Tämän esimerkin ratkaisun avulla voimme nyt nähdä, miksi tarvitsimme \(x>0\). Toisessa termissä olisi jako nollalla, jos sallisimme \(x=0\) ja ensimmäinen termi antaisi meille negatiivisten lukujen neliöjuuret, jos sallisimme \(x<0\).
Kaksoisjuuret
Tämä tapaus johtaa samaan ongelmaan, joka meillä on ollut jokaisella muullakin kerralla, kun olemme törmänneet kaksoisjuuriin (tai kaksinkertaisiin ominaissuureisiin). Saamme vain yhden ratkaisun ja tarvitsemme toisen ratkaisun. Tässä tapauksessa voidaan osoittaa, että toinen ratkaisu on,
\
ja niinpä yleinen ratkaisu tässä tapauksessa on,
\
Voidaan jälleen nähdä syy vaatia \(x>0\). Jos näin ei olisi, meillä olisi kaikenlaisia ongelmia tuon logaritmin kanssa.
Kompleksiset juuret
Tässä tapauksessa oletamme, että juuremme ovat muotoa,
\
Jos otamme ensimmäisen juuren, saamme seuraavan ratkaisun.
\
Tämä on ongelma, koska emme halua kompleksisia ratkaisuja, vaan ainoastaan reaalisia ratkaisuja. Voimme poistaa tämän muistuttamalla, että,
\
Pistämällä juuren tähän saadaan,
\
Huomaa, että jouduimme käyttämään myös Eulerin kaavaa päästäksemme viimeiseen vaiheeseen. Nyt, kuten olemme tehneet joka kerta, kun olemme nähneet tällaisia ratkaisuja, voimme ottaa reaaliosan ja imaginääriosan ja käyttää niitä kahta ratkaisuamme varten.
Kompleksisten juurien tapauksessa yleinen ratkaisu on siis,
\
Jälleen kerran näemme, miksi meidän piti vaatia \(x > 0\).
Pitäisi nyt puhua siitä, miten käsittelemme \(x < 0\):n, koska se on joskus mahdollista. Tämän käsittelemiseksi meidän on käytettävä muuttujan muunnosta,
\
Tässä tapauksessa, koska \(x < 0\), saamme \(\eta > 0\). Määritellään nyt,
\
Sitten ketjusäännön avulla näemme, että,
\
Tämän muunnoksen avulla differentiaaliyhtälöstä tulee,
\
Muulla sanoen, koska \(\eta>0\), voimme käyttää yllä olevaa työtä saadaksemme ratkaisut tähän differentiaaliyhtälöön. Palaamme myös takaisin \(x\):iin käyttämällä muuttujan muunnosta päinvastoin.
\
Katsotaan ensin todellista, erillistä tapausta, jotta nähdään, mitä tapahtuu.
\
Voisimme halutessamme tehdä tämän muillekin tapauksille, mutta ennen sitä huomataan, että jos muistamme absoluuttisen arvon määritelmän,
\
voimme yhdistää tämän tapauksen molemmat ratkaisumme yhdeksi ja kirjoittaa ratkaisun muotoon,
\
Voimme tehdä samoin kahdelle muulle tapaukselle ja seuraaville ratkaisuille mille tahansa aikavälille, joka ei sisällä \(x = 0\).
\
Voidaan tehdä vielä yksi yleistys ennen yhden esimerkin työstämistä. Eulerin yhtälön yleisempi muoto on,
\
ja voimme kysyä ratkaisuja mille tahansa aikavälille, joka ei sisällä \(x = {x_0}\). Ratkaisujen tuottamiseen tarvittava työ tässä tapauksessa on identtinen kaikkien edellä esitettyjen töiden kanssa, joten sitä ei esitetä tässä.
Ratkaisut tässä yleisessä tapauksessa millä tahansa välillä, joka ei sisällä \(x = a\), ovat,
\
Jossa juuret ovat ratkaisuja
\\