Mens værdien af en logaritme i sig selv kan være positiv eller negativ, er logfunktionens base og logfunktionens argument en anden historie.
Argumentet for en logfunktion kan kun tage imod positive argumenter. Med andre ord er de eneste tal, du kan indsætte i en logfunktion, positive tal. Negative tal og tallet 0 er ikke acceptable argumenter til at sætte ind i en logaritme, men hvorfor?
Grunden har mere at gøre med logaritmens base end med logaritmens argument. For at forstå hvorfor skal vi forstå, at logaritmer faktisk er ligesom eksponenter: Basen for en logaritme er også basen for en potensfunktion.
Når man har en potensfunktion med base 0, vil resultatet af denne potensfunktion altid være 0. Med andre ord er der ingen eksponent, man kan sætte på 0, som ikke giver en værdi på 0 tilbage. Eller sagt på en anden måde: 0 hævet til hvad som helst er altid stadig 0. På samme måde er 1 hævet til hvad som helst altid stadig 1.
Hvis du hæver et negativt tal til et positivt tal, der ikke er et heltal, men i stedet en brøk eller et decimaltal, kan du ende med et negativt tal under en kvadratrod. Og som du ved, kan vi, medmindre vi kommer ind på imaginære tal, ikke håndtere et negativt tal under en kvadratrod.
Så 0, 1 og alle negative tal udgør et potentielt problem som base for en potensfunktion. Og hvis disse tal ikke pålideligt kan være basis for en potensfunktion, så kan de heller ikke pålideligt være basis for en logaritme.
Derfor tillader vi kun andre positive tal end 1 som basis for logaritmen. Så det vi ved er, at hvis basen af vores potensfunktion er positiv, er det ligegyldigt hvilken eksponent vi sætter på denne base (det kan være et positivt tal, et negativt tal eller 0), så vil denne potensfunktion komme ud som et positivt tal.
Så kort sagt, fordi vi kun tillader, at logaritmens base kan være et positivt tal, der ikke er lig med 1, betyder det, at logaritmens argument kun kan være et positivt tal. Hvilket betyder, at vi for at beskytte vores baser kun må tillade positive argumenter inden for logaritmen:
-
Logaritmens base: Kan kun være positive tal, der ikke er lig med 1
-
Argumentet i logaritmen: Kan kun være positive tal (på grund af begrænsningen af basen)
-
Den værdi, du får for logaritmen efter at have indsat basen og argumentet: Kan være positive eller negative tal
0:00 // Argumentet kan ikke være negativt
0:19 // Dele af logaritmen
0:30 // Argumentet i logaritmen kan ikke være negativt, fordi logaritmens base er defineret
0:47 // Logaritmen er en potensfunktion
1:36 // Hvilke slags tal kan logaritmens base egentlig være?
3:11 // Hvordan påvirker logaritmens base logaritmens argument?
4:32 // Sammenfatning og konklusion