Zobrazit upozornění pro mobilní zařízení Zobrazit všechny poznámky Skrýt všechny poznámky
Rodíl 6-4 : Eulerovy rovnice
V tomto oddíle chceme hledat řešení
\
v okolí \({x_0} = 0\). Tyto typy diferenciálních rovnic se nazývají Eulerovy rovnice.
Připomeňme si z předchozího oddílu, že bod je obyčejným bodem, jestliže kvocienty,
\
Je však možné získat řešení této diferenciální rovnice, která nejsou řadovými řešeními. Začněme tím, že předpokládáme, že \(x>0\) (důvod bude zřejmý, až zpracujeme první příklad) a že všechna řešení mají tvar,
\
Nyní to dosadíme do diferenciální rovnice a dostaneme,
\
Nyní jsme předpokládali, že \(x>0\), a tak bude tato hodnota nulová pouze tehdy, když,
\
Reálné, výrazné kořeny
V tomto případě toho opravdu není moc co řešit. Dostaneme dvě řešení, která budou tvořit základní množinu řešení (ověření necháme na vás), a tak naše obecné řešení bude,
\
S řešením tohoto příkladu nyní vidíme, proč jsme požadovali \(x>0\). Druhý člen by měl dělení nulou, kdybychom povolili \(x=0\), a první člen by nám dal odmocniny ze záporných čísel, kdybychom povolili \(x<0\).
Dvojité kořeny
Tento případ povede ke stejnému problému, který jsme měli pokaždé, když jsme narazili na dvojité kořeny (nebo dvojitá vlastní čísla). Dostaneme pouze jedno řešení a budeme potřebovat druhé řešení. V tomto případě lze ukázat, že druhé řešení bude,
\
a tak obecné řešení v tomto případě je,
\
Znovu vidíme důvod pro požadavek \(x>0\). Kdybychom to neudělali, měli bychom s tímto logaritmem různé problémy.
Komplexní kořeny
V tomto případě budeme předpokládat, že naše kořeny jsou ve tvaru,
\
Pokud vezmeme první kořen, dostaneme následující řešení.
\
To je problém, protože nechceme komplexní řešení, chceme pouze reálné řešení. Můžeme to odstranit tak, že si připomeneme, že,
\
Připojením kořene do tohoto dostaneme,
\
Všimněte si, že jsme museli použít i Eulerův vzorec, abychom se dostali k poslednímu kroku. Nyní, stejně jako pokaždé, když jsme se s takovým řešením setkali, můžeme vzít reálnou a imaginární část a použít je pro naše dvě řešení.
V případě komplexních kořenů bude tedy obecné řešení,
\
Znovu vidíme, proč jsme museli požadovat \(x > 0\).
Měli bychom nyní mluvit o tom, jak se vypořádat s \(x < 0\), protože to je příležitostně možné. Abychom se s tím vypořádali, musíme použít transformaci proměnné,
\
V tomto případě, protože \(x < 0\), dostaneme \(\eta > 0\). Nyní definujeme,
\
Poté pomocí řetězového pravidla vidíme, že,
\
Pomocí této transformace se diferenciální rovnice stane,
\
Jinými slovy, protože \(\eta>0\), můžeme použít výše uvedenou práci k získání řešení této diferenciální rovnice. Pomocí obrácené transformace proměnných se také vrátíme zpět k \(x\)’s.
\
Vezměme nejprve jen reálný, odlišný případ, abychom viděli, co se stane.
\
Nyní bychom to mohli udělat i pro ostatní případy, kdybychom chtěli, ale než to uděláme, všimněme si, že když si vzpomeneme na definici absolutní hodnoty,
\
můžeme obě naše řešení tohoto případu spojit do jednoho a zapsat řešení jako,
\
Podobně můžeme postupovat i pro další dva případy a následující řešení pro libovolný interval neobsahující \(x = 0\).
\
Před zpracováním ještě jednoho příkladu můžeme provést ještě jedno zobecnění. Obecnější tvar Eulerovy rovnice je,
\
a můžeme se ptát na řešení v libovolném intervalu, který neobsahuje \(x = {x_0}\). Práce na generování řešení v tomto případě je totožná se všemi výše uvedenými pracemi, a proto ji zde neuvádíme.
Řešení v tomto obecném případě pro libovolný interval neobsahující \(x = a\) jsou,
\
Kde kořeny jsou řešeními
\