Embora o valor de um logaritmo em si possa ser positivo ou negativo, a base da função log e o argumento da função log são uma história diferente.
O argumento de uma função log só pode ter argumentos positivos. Em outras palavras, os únicos números que você pode ligar a uma função de log são números positivos. Números negativos, e o número 0, não são argumentos aceitáveis para se ligar a um logaritmo, mas porque?
A razão tem mais a ver com a base do logaritmo do que com o argumento do logaritmo. Para perceber porquê, temos de perceber que os logaritmos são na verdade como expoentes: a base de um logaritmo é também a base de uma função de poder.
Quando você tem uma função de poder com base 0, o resultado dessa função de poder será sempre 0. Em outras palavras, não há expoente que você possa colocar em 0 que não lhe devolva um valor 0. Ou, colocado de forma diferente, 0 elevado a qualquer coisa é sempre 0. Da mesma forma, 1 elevado a qualquer coisa é sempre 1,
Se aumentar um número negativo para um número positivo que não é um número inteiro, mas sim uma fracção ou uma casa decimal, pode acabar com um número negativo por baixo de uma raiz quadrada. E como você sabe, a menos que estejamos entrando em números imaginários, não podemos lidar com um número negativo abaixo de uma raiz quadrada.
Então 0, 1, e cada número negativo apresenta um problema potencial como a base de uma função de potência. E se esses números não podem ser a base de uma função de potência, então eles também não podem ser a base de um logaritmo.
Por essa razão, só permitimos números positivos que não sejam 1 como a base do logaritmo. Então o que sabemos é que, se a base da nossa função de potência é positiva, não importa que expoente colocamos nessa base (pode ser um número positivo, um número negativo ou 0), essa função de potência vai sair como um número positivo.
Então em resumo, porque só permitimos que a base do logaritmo seja um número positivo não igual a 1, isso significa que o argumento do logaritmo só pode ser um número positivo. O que significa que, para proteger nossas bases, só temos que permitir argumentos positivos dentro do logaritmo:
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A base do logaritmo: Só podem ser números positivos não iguais a 1
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O argumento do logaritmo: Pode ser apenas números positivos (devido à restrição na base)
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O valor obtido para o logaritmo depois de ligar a base e o argumento: Podem ser números positivos ou negativos
0:00 // O argumento não pode ser negativo
0:19 // Partes do logaritmo
0:30 // O argumento do logaritmo não pode ser negativo por causa de como a base do logaritmo é definida
0:47 // O logaritmo é uma função de potência
1:36 // Que tipo de números pode realmente ser a base do logaritmo?
3:11 // Como é que a base do logaritmo afecta o argumento do logaritmo?
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4:32 // Resumo e conclusão