Toon mobiele notitie Toon alle notities Verberg alle notities
Hoofdstuk 6-4 : Eulervergelijkingen
In dit hoofdstuk willen we oplossingen zoeken voor
\
om \({x_0} = 0}). Dit soort differentiaalvergelijkingen noemt men Eulervergelijkingen.
Herinner u uit de vorige paragraaf dat een punt een gewoon punt is als de quotiënten,
Het is echter mogelijk om oplossingen voor deze differentiaalvergelijking te krijgen die geen serieoplossingen zijn. Laten we beginnen met aan te nemen dat x>0 (de reden hiervoor zal duidelijk worden nadat we het eerste voorbeeld hebben uitgewerkt) en dat alle oplossingen van de vorm,
\
zijn Nu plug je dit in de differentiaalvergelijking om te krijgen,
\
Nu hebben we aangenomen dat \(x>0) en dus zal dit alleen nul zijn als,
\
Reele, Onderscheidende Wortels
Er is in dit geval niet echt veel te doen. We krijgen twee oplossingen die een fundamentele verzameling oplossingen vormen (we laten het aan u over om dit te controleren) en dus wordt onze algemene oplossing,
\
Met de oplossing van dit voorbeeld kunnen we nu zien waarom we \(x>0\) nodig hadden. De tweede term zou een deling door nul hebben als we \(x=0%) zouden toestaan en de eerste term zou ons vierkantswortels van negatieve getallen geven als we \(x<0%) zouden toestaan.
Dubbele wortels
Dit geval leidt tot hetzelfde probleem dat we elke andere keer hebben gehad als we dubbele wortels (of dubbele eigenwaarden) tegenkwamen. We krijgen slechts een enkele oplossing en zullen een tweede oplossing nodig hebben. In dit geval kan worden aangetoond dat de tweede oplossing,
\
zal zijn en dus is de algemene oplossing in dit geval,
\
We zien weer een reden om \(x>0) te vereisen. Als we dat niet zouden doen, zouden we allerlei problemen krijgen met die logaritme.
Complexe wortels
In dit geval gaan we ervan uit dat onze wortels de vorm,
\
hebben.Als we de eerste wortel nemen, krijgen we de volgende oplossing.
\
Dit is een probleem omdat we geen complexe oplossingen willen, maar alleen reële oplossingen. We kunnen dit oplossen door te bedenken dat,
\
Als we de wortel hierin stoppen krijgen we,
\
Merk op dat we ook de formule van Euler moesten gebruiken om bij de laatste stap te komen. We kunnen nu, net als bij alle andere oplossingen, het reële deel en het imaginaire deel nemen en die gebruiken voor onze twee oplossingen.
In het geval van complexe wortels is de algemene oplossing dus,
\
Wederom zien we waarom we \(x > 0) nodig hadden.
We moeten het nu hebben over hoe we met \(x < 0) moeten omgaan, omdat dat soms een mogelijkheid is. Om hiermee om te gaan moeten we de variabele transformatie gebruiken,
\
In dit geval krijgen we, omdat \(x < 0) is, \eta > 0). Definieer nu,
\
Dan kunnen we met behulp van de kettingregel zien dat,
\
Met deze transformatie wordt de differentiaalvergelijking,
\
Met andere woorden, omdat \(\eta>0\) kunnen we het werk hierboven gebruiken om oplossingen te vinden voor deze differentiaalvergelijking. We zullen ook teruggaan naar x door de variabele transformatie in omgekeerde richting te gebruiken. Laten we eerst het echte, onderscheiden geval nemen om te zien wat er gebeurt.
\
Nu zouden we dit voor de rest van de gevallen kunnen doen als we dat zouden willen, maar voordat we dat doen merken we op dat als we ons de definitie van absolute waarde herinneren,
\
we onze beide oplossingen voor dit geval kunnen combineren tot een en de oplossing kunnen schrijven als,
\
Hetzelfde kunnen we doen voor de andere twee gevallen en de volgende oplossingen voor elk interval dat niet \(x = 0) bevat.
\
We kunnen nog een generalisatie maken voordat we nog een voorbeeld uitwerken. Een algemenere vorm van een Euler vergelijking is,
\
en we kunnen oplossingen vragen voor elk interval dat niet \(x = {x_0} bevat). Het werk om de oplossingen in dit geval te genereren is identiek aan al het werk hierboven en wordt hier dus niet getoond.
De oplossingen in dit algemene geval voor elk interval dat niet \(x = a\) bevat zijn,
\
Waarbij de wortels oplossingen zijn van,
\