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Abschnitt 6-4 : Euler-Gleichungen
In diesem Abschnitt wollen wir nach Lösungen für
\
um \({x_0} = 0\) suchen. Diese Art von Differentialgleichungen werden Euler-Gleichungen genannt.
Erinnern Sie sich an den vorherigen Abschnitt, dass ein Punkt ein gewöhnlicher Punkt ist, wenn die Quotienten,
\
Es ist jedoch möglich, Lösungen für diese Differentialgleichung zu erhalten, die keine Serienlösungen sind. Nehmen wir zunächst an, dass \(x>0\) (der Grund dafür wird nach der Bearbeitung des ersten Beispiels ersichtlich) und dass alle Lösungen die Form,
\
haben, und setzen Sie dies in die Differentialgleichung ein,
\
Nun haben wir angenommen, dass \(x>0\) nur dann Null ist, wenn,
\
Reale, eindeutige Wurzeln
In diesem Fall gibt es nicht viel zu tun. Wir erhalten zwei Lösungen, die eine fundamentale Lösungsmenge bilden (wir überlassen es Ihnen, dies zu überprüfen), und so lautet unsere allgemeine Lösung,
\
Mit der Lösung dieses Beispiels können wir nun sehen, warum wir \(x>0\) benötigten. Der zweite Term hätte eine Division durch Null, wenn wir \(x=0\) zulassen würden, und der erste Term würde uns Quadratwurzeln negativer Zahlen liefern, wenn wir \(x<0\) zulassen würden.
Doppelwurzeln
Dieser Fall führt zu demselben Problem, das wir jedes Mal hatten, wenn wir auf Doppelwurzeln (oder doppelte Eigenwerte) gestoßen sind. Wir erhalten nur eine einzige Lösung und benötigen eine zweite Lösung. In diesem Fall kann gezeigt werden, dass die zweite Lösung,
\
ist, und somit ist die allgemeine Lösung in diesem Fall,
\
Wir sehen wieder einen Grund, warum wir \(x>0\) benötigen. Wenn wir das nicht täten, hätten wir alle möglichen Probleme mit diesem Logarithmus.
Komplexe Wurzeln
In diesem Fall nehmen wir an, dass unsere Wurzeln von der Form,
\
Wenn wir die erste Wurzel nehmen, erhalten wir die folgende Lösung.
\
Das ist ein Problem, da wir keine komplexen Lösungen wollen, sondern nur reelle Lösungen. Wir können dies beseitigen, indem wir uns daran erinnern, dass,
\
Das Einsetzen der Wurzel ergibt,
\
Beachte, dass wir auch die Euler-Formel verwenden mussten, um zum letzten Schritt zu gelangen. Nun können wir, wie jedes Mal, wenn wir solche Lösungen gesehen haben, den Realteil und den Imaginärteil nehmen und diese für unsere beiden Lösungen verwenden.
Im Fall von komplexen Wurzeln lautet die allgemeine Lösung also,
\
Wir sehen wieder einmal, warum wir \(x > 0\) benötigen.
Wir sollten nun darüber sprechen, wie wir mit \(x < 0\) umgehen, da dies gelegentlich möglich ist. Um damit umzugehen, müssen wir die Variablentransformation verwenden,
\
In diesem Fall, da \(x < 0\), erhalten wir \(\eta > 0\). Definieren Sie nun,
\
Dann können wir mit Hilfe der Kettenregel sehen, dass,
\
Mit dieser Transformation wird die Differentialgleichung zu,
\
In anderen Worten, da \(\eta>0\) können wir die obige Arbeit verwenden, um Lösungen für diese Differentialgleichung zu erhalten. Wir kehren auch zu \(x\) zurück, indem wir die Variablentransformation in umgekehrter Richtung verwenden.
\
Lassen Sie uns zunächst den realen, eindeutigen Fall betrachten, um zu sehen, was passiert.
\
Nun könnten wir das auch für die anderen Fälle tun, wenn wir wollten, aber bevor wir das tun, sollten wir beachten, dass wir, wenn wir uns an die Definition des absoluten Wertes erinnern,
\
unsere beiden Lösungen für diesen Fall zu einer einzigen zusammenfassen und die Lösung als,
\
schreiben können Wir können das Gleiche für die anderen beiden Fälle und die folgenden Lösungen für jedes Intervall tun, das \(x = 0\) nicht enthält.
\
Wir können eine weitere Verallgemeinerung vornehmen, bevor wir ein weiteres Beispiel bearbeiten. Eine allgemeinere Form einer Euler-Gleichung ist,
\
und wir können nach Lösungen in jedem Intervall fragen, das \(x = {x_0}\) nicht enthält. Die Arbeit zur Erzeugung der Lösungen in diesem Fall ist identisch mit der obigen Arbeit und wird daher hier nicht gezeigt.
Die Lösungen in diesem allgemeinen Fall für ein beliebiges Intervall, das \(x = a\) nicht enthält, sind,
\
wobei die Wurzeln Lösungen von
\ sind