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Sezione 6-4 : Equazioni di Eulero
In questa sezione vogliamo cercare soluzioni a
\70>intorno a \({x_0} = 0\). Questo tipo di equazioni differenziali sono chiamate equazioni di Eulero.
Ricordiamo dalla sezione precedente che un punto è un punto ordinario se i quozienti,
\
Tuttavia, è possibile ottenere soluzioni a questa equazione differenziale che non sono soluzioni in serie. Cominciamo assumendo che \(x>0\) (la ragione di questo sarà evidente dopo aver lavorato al primo esempio) e che tutte le soluzioni sono della forma,
\
Ora inseriamo questo nell’equazione differenziale per ottenere,
\
Ora, abbiamo assunto che \(x>0\) e quindi questo sarà zero solo se,
\
Real, Distinct Roots
Non c’è davvero molto da fare in questo caso. Otterremo due soluzioni che formeranno un insieme fondamentale di soluzioni (lasciamo a voi il compito di verificarlo) e quindi la nostra soluzione generale sarà,
\
Con la soluzione di questo esempio possiamo ora vedere perché abbiamo richiesto \(x>0\). Il secondo termine avrebbe divisione per zero se permettessimo \(x=0\) e il primo termine ci darebbe radici quadrate di numeri negativi se permettessimo \(x<0\).
Doppie radici
Questo caso porterà allo stesso problema che abbiamo avuto ogni volta che ci siamo imbattuti in doppie radici (o doppi autovalori). Otteniamo una sola soluzione e avremo bisogno di una seconda soluzione. In questo caso si può dimostrare che la seconda soluzione sarà,
\
e quindi la soluzione generale in questo caso è,
\
Possiamo di nuovo vedere una ragione per richiedere \(x>0\). Se non lo facessimo avremmo tutti i tipi di problemi con quel logaritmo.
Radici complesse
In questo caso assumeremo che le nostre radici siano della forma,
\70>Se prendiamo la prima radice otterremo la seguente soluzione. \
Questo è un problema perché non vogliamo soluzioni complesse, vogliamo solo soluzioni reali. Possiamo eliminarlo ricordando che,
\
Inserendo la radice in questo si ottiene,
\
Nota che abbiamo dovuto usare anche la formula di Eulero per arrivare al passo finale. Ora, come abbiamo fatto tutte le altre volte che abbiamo visto soluzioni come questa, possiamo prendere la parte reale e la parte immaginaria e usarle per le nostre due soluzioni.
Così, nel caso di radici complesse la soluzione generale sarà,
\
Ancora una volta, possiamo vedere perché avevamo bisogno di richiedere \(x > 0\).
Dovremmo ora parlare di come trattare con \(x < 0\) poiché questa è una possibilità a volte. Per trattare questo abbiamo bisogno di usare la trasformazione di variabile,
\70>In questo caso, poiché \(x < 0\) otterremo \(\eta > 0\). Ora, definisci, \
Poi usando la regola della catena possiamo vedere che,
\
Con questa trasformazione l’equazione differenziale diventa,
\
In altre parole, poiché \(\eta>0\) possiamo usare il lavoro sopra per ottenere soluzioni a questa equazione differenziale. Torneremo anche a \(x\) usando la trasformazione delle variabili al contrario.
\
Prendiamo prima il caso reale e distinto per vedere cosa succede.
\
Ora, potremmo fare questo per il resto dei casi se volessimo, ma prima di farlo notiamo che se ricordiamo la definizione di valore assoluto,
\
possiamo combinare entrambe le nostre soluzioni a questo caso in una sola e scrivere la soluzione come,
\
Possiamo fare lo stesso per gli altri due casi e le seguenti soluzioni per qualsiasi intervallo non contenente \(x = 0\).
\
Possiamo fare un’altra generalizzazione prima di lavorare un altro esempio. Una forma più generale di un’equazione di Eulero è,
\70>e possiamo chiedere le soluzioni in qualsiasi intervallo non contenente \(x = {x_0}\). Il lavoro per generare le soluzioni in questo caso è identico a tutto il lavoro precedente e quindi non viene mostrato qui.
Le soluzioni in questo caso generale per qualsiasi intervallo non contenente \(x = a\) sono,
\70>dove le radici sono soluzioni a \