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Section 6-4 : Équations d’Euler
Dans cette section, nous voulons chercher des solutions à
\
autour de \({x_0} = 0\). Ces types d’équations différentielles sont appelés équations d’Euler.
Rappellez-vous de la section précédente qu’un point est un point ordinaire si les quotients,
\
Cependant, il est possible d’obtenir des solutions à cette équation différentielle qui ne sont pas des solutions en série. Commençons par supposer que \(x>0\) (la raison de ceci sera apparente après avoir travaillé le premier exemple) et que toutes les solutions sont de la forme,
\
Prenez maintenant ceci dans l’équation différentielle pour obtenir,
\NNous avons supposé que \N(x>0\N) et donc ceci ne sera nul que si, \N
Racines réelles et distinctes
Il n’y a pas grand chose à faire dans ce cas. Nous aurons deux solutions qui formeront un ensemble fondamental de solutions (nous vous laissons le soin de le vérifier) et donc notre solution générale sera,
\
Avec la solution de cet exemple, nous pouvons maintenant voir pourquoi nous avons exigé \(x>0\). Le deuxième terme aurait une division par zéro si nous autorisions \(x=0\) et le premier terme nous donnerait des racines carrées de nombres négatifs si nous autorisions \(x<0\).
Doubles racines
Ce cas conduira au même problème que nous avons eu chaque fois que nous avons rencontré des racines doubles (ou des valeurs propres doubles). Nous n’obtenons qu’une seule solution et nous aurons besoin d’une deuxième solution. Dans ce cas, on peut montrer que la deuxième solution sera,
\
et donc la solution générale dans ce cas est,
\
Nous pouvons à nouveau voir une raison pour exiger \(x>0\). Si nous ne le faisions pas, nous aurions toutes sortes de problèmes avec ce logarithme.
Racines complexes
Dans ce cas, nous supposerons que nos racines sont de la forme,
\
Si nous prenons la première racine, nous obtiendrons la solution suivante.
\
C’est un problème puisque nous ne voulons pas de solutions complexes, nous voulons seulement des solutions réelles. Nous pouvons éliminer ce problème en rappelant que,
\
En branchant la racine dans ce qui donne,
\
Notez que nous avons dû utiliser la formule d’Euler aussi pour arriver à la dernière étape. Maintenant, comme nous l’avons fait chaque fois que nous avons vu des solutions comme celle-ci, nous pouvons prendre la partie réelle et la partie imaginaire et les utiliser pour nos deux solutions.
Donc, dans le cas de racines complexes, la solution générale sera,
\
Encore une fois, nous pouvons voir pourquoi nous avions besoin d’exiger \(x > 0\).
Nous devrions maintenant parler de la façon de traiter \(x < 0\) puisque c’est une possibilité à l’occasion. Pour traiter cela, nous devons utiliser la transformation de variable,
Dans ce cas, puisque \(x < 0\) nous obtiendrons \(\eta > 0\). Maintenant, définissons,
\
Puis en utilisant la règle de la chaîne nous pouvons voir que,
\
Avec cette transformation l’équation différentielle devient,
\
En d’autres termes, puisque \(\eta>0\) nous pouvons utiliser le travail ci-dessus pour obtenir des solutions à cette équation différentielle. Nous allons également revenir aux \(x\) en utilisant la transformation de variable en sens inverse.
\N
Prenons d’abord le cas réel et distinct pour voir ce qui se passe.
\
Maintenant, nous pourrions faire cela pour le reste des cas si nous le voulions, mais avant cela, remarquons que si nous nous rappelons la définition de la valeur absolue,
\
nous pouvons combiner nos deux solutions à ce cas en une seule et écrire la solution comme,
\
Nous pouvons faire de même pour les deux autres cas et les solutions suivantes pour tout intervalle ne contenant pas \(x = 0\).
\
Nous pouvons faire une généralisation de plus avant de travailler un exemple de plus. Une forme plus générale d’une équation d’Euler est,
\
et nous pouvons demander des solutions dans tout intervalle ne contenant pas \(x = {x_0}\). Le travail pour générer les solutions dans ce cas est identique à tout le travail ci-dessus et n’est donc pas montré ici.
Les solutions dans ce cas général pour tout intervalle ne contenant pas \(x = a\) sont,
\
Où les racines sont des solutions à
\\