Ley de la potencia y distribución de la ley de la potencia

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¿Qué es la ley de la potencia?

La ley de la potencia (también llamada ley de la escala) establece que un cambio relativo en una cantidad resulta en un cambio relativo proporcional en otra. El ejemplo más simple de la ley en acción es un cuadrado; si duplicas la longitud de un lado (digamos, de 2 a 4 pulgadas) entonces el área se cuadruplicará (de 4 a 16 pulgadas al cuadrado). Una distribución de ley de potencia tiene la forma Y = k Xα, donde:

• X e Y son variables de interés,
• α es el exponente de la ley,
• k es una constante.

Cualquier relación inversa como Y = X-1 es también una ley de potencia, porque un cambio en una cantidad resulta en un cambio negativo en otra.

Ejemplos

La ley de potencia puede utilizarse para describir un fenómeno en el que un pequeño número de elementos se agrupa en la parte superior de una distribución (o en la parte inferior), ocupando el 95% de los recursos. En otras palabras, implica que una pequeña cantidad de ocurrencias es común, mientras que las ocurrencias más grandes son raras. Por ejemplo, en lo que respecta a la distribución de la renta, hay muy pocos multimillonarios; el grueso de la población tiene unos ahorros muy modestos.

Un grupo de valores domina en un extremo del gráfico.

Otros ejemplos de fenómenos con este tipo de distribución:

• Distribución de la renta,
• Magnitud de los terremotos,
• Tamaño de las ciudades según la población,
• Tamaño de las empresas,
• Volúmenes de negociación en la bolsa,
• Frecuencias de las palabras.

Si se trazan dos cantidades enfrentadas con ejes logarítmicos y muestran una relación lineal, esto indica que las dos cantidades tienen una distribución de ley de potencia.

Trama logarítmico de dos variables. Imagen: NIST.gov.

Distribuciones y leyes similares

Un tipo especial de este tipo de distribución es el Principio de Pareto (también llamado Ley de Pareto), que es una «ley» no científica que afirma que el 80% de los efectos provienen del 20% de las causas. En otras palabras, la mayor parte de lo que hacemos tiene poco efecto.

Una ley relacionada es la ley de Zipf, que suele referirse a la frecuencia de un evento en relación con su rango. La ley de Zipf establece que, dada una lista de las palabras más frecuentes en un libro arbitrario, la palabra más frecuente aparecerá dos veces más que la segunda palabra más frecuente, que aparecerá dos veces más que la tercera más frecuente, y así sucesivamente. En su forma más sencilla, la ley de Zipf es igual a la ley de la potencia. La ley de Zipf da lugar a la distribución Zeta.

Referencia:
Barker, J. (1999). La ley de la potencia. Recuperado el 15-7-2015 de : https://www.ncnr.nist.gov/resources/sansmodels/PowerLaw.html.

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