En geodetik på en slät mångfald M med en affin förbindelse ∇ definieras som en kurva γ(t) så att parallell transport längs kurvan bevarar tangentvektorn till kurvan, så
|
∇ γ ˙ γ ˙ = 0 {\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0}
 |
|
(1) |
i varje punkt längs kurvan, där γ ˙ {\displaystyle {\dot {\gamma }}}
är derivatan med avseende på t {\\displaystyle t}
. Mer exakt, för att definiera den kovarianta derivatan av γ ˙ {\displaystyle {\displaystyle {\dot {\gamma }}}
är det nödvändigt att först förlänga γ ˙ {\displaystyle {\dot {\gamma }}}
till ett kontinuerligt differentierbart vektorfält i en öppen mängd. Det resulterande värdet av (1) är dock oberoende av valet av förlängning.
Med hjälp av lokala koordinater på M kan vi skriva den geodetiska ekvationen (med hjälp av summeringskonventionen) som
d 2 γ λ d t 2 + Γ μ ν λ d γ μ μ d t d γ ν d t = 0 , {\displaystyle {\frac {d^{2}\gamma ^{\lambda }}{dt^{2}}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {d\gamma ^{\mu }}{dt}}{\frac {d\gamma ^{\nu }}{dt}}=0\ ,}
där γ μ = x μ ∘ γ ( t ) {\displaystyle \gamma ^{\mu }=x^{\mu }\circ \gamma (t)}
är koordinaterna för kurvan γ(t) och Γ μ ν λ {\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}
är Christoffelsymbolerna för sambandet ∇. Detta är en vanlig differentialekvation för koordinaterna. Den har en unik lösning, givet en initial position och en initial hastighet. Ur den klassiska mekanikens synvinkel kan geodetik därför betraktas som fria partiklars banor i en mångfald. Ekvationen ∇ γ ˙ γ ˙ = 0 {\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0}
innebär att kurvans accelerationsvektor inte har några komponenter i ytans riktning (och därför är den vinkelrät mot ytans tangentplan i varje punkt på kurvan). Så rörelsen bestäms helt och hållet av ytans böjning. Detta är också tanken i den allmänna relativitetsteorin där partiklar rör sig på geodetiska banor och böjningen orsakas av gravitationen.
Existens och unikhetRedigera
Det lokala teoremet om existens och unikhet för geodetiska banor säger att geodetiska banor på en slät mångtalighet med en affin förbindelse existerar och är unika. Mer exakt:
För varje punkt p i M och för varje vektor V i TpM (tangentrummet till M vid p) finns det en unik geodetisk γ {\displaystyle \gamma \,}
: I → M så att γ ( 0 ) = p {\displaystyle \gamma (0)=p\,}
och γ ˙ ( 0 ) = V , {\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=V,}
där I är ett maximalt öppet intervall i R som innehåller 0.
Beviset för denna sats följer av teorin om vanliga differentialekvationer, genom att notera att den geodetiska ekvationen är en andra ordningens ODE. Existens och unikhet följer sedan av Picard-Lindelöf-satsen för lösningar av ODE:er med föreskrivna initialvillkor. γ beror smidigt på både p och V.
I allmänhet kan det hända att I inte är hela R som till exempel för en öppen skiva i R2. Varje γ sträcker sig till hela ℝ om och endast om M är geodetiskt komplett.
Geodetiskt flödeRedigera
Geodetiskt flöde är en lokal R-verkan på tangentbunten TM av en mångfald M som definieras på följande sätt
G t ( V ) = γ ˙ V ( t ) {\displaystyle G^{t}(V)={\dot {\gamma }}_{V}(t)}
där t ∈ R, V ∈ TM och γ V {\displaystyle \gamma _{V}}
betecknar den geodetiska med initiala data γ ˙ V ( 0 ) = V {\displaystyle {\dot {\gamma }}_{V}(0)=V}
. Därmed är G t {\displaystyle G^{t}}
(V) = exp(tV) är den exponentiella kartan för vektorn tV. En sluten bana för det geodetiska flödet motsvarar en sluten geodetisk bana på M.
På en (pseudo-)Riemannsk mångfald identifieras det geodetiska flödet med ett hamiltoniskt flöde på kotangentbunten. Hamiltonianen ges då av inversen av den (pseudo-)riemannska metriken, utvärderad mot den kanoniska enformen. Flödet bevarar i synnerhet den (pseudo-)riemannska metriken g {\displaystyle g}
, dvs. g ( G t ( V ) , G t ( V ) ) = g ( V , V ) . {\\displaystyle g(G^{t}(V),G^{t}(V))=g(V,V).\,}
I synnerhet, när V är en enhetsvektor, γ V {\displaystyle \gamma _{V}}
förblir enhetshastighet hela tiden, så det geodetiska flödet är tangent till enhetstangentbunten. Liouvilles sats innebär invarians för ett kinematiskt mått på enhetstangentbunten.
Geodetisk sprayEdit
Det geodetiska flödet definierar en familj av kurvor i tangentbunten. Derivatanterna av dessa kurvor definierar ett vektorfält på tangentbuntets totala rum, känt som det geodetiska flödet.
Närmare bestämt ger en affin förbindelse upphov till en uppdelning av det dubbla tangentbuntet TTM i horisontella och vertikala buntar:
T T T M = H ⊕ V . {\displaystyle TTM=H\oplus V.}
Den geodetiska sprayen är det unika horisontella vektorfältet W som uppfyller
π ∗ W v = v {\displaystyle \pi _{*}W_{v}=v\,}
i varje punkt v ∈ TM; här π∗ : TTM → TM betecknar pushforward (differential) längs projektionen π : TM → M associerad med tangentbunten.
Mer allmänt kan man med samma konstruktion konstruera ett vektorfält för varje Ehresmannförbindelse på tangentbunten. För att det resulterande vektorfältet ska vara en spray (på det borttagna tangentbunten TM \ {0}) räcker det att förbindelsen är ekvivariant under positiva omskalningar: den behöver inte vara linjär. Det vill säga, (jfr Ehresmann-förbindelsen#Vektorbuntar och kovarianta derivat) det räcker att den horisontella fördelningen uppfyller
H λ X = d ( S λ ) X H X {\displaystyle H_{\lambda X}=d(S_{\lambda })_{X}H_{X}\,}
för varje X ∈ TM \ {0} och λ > 0. Här är d(Sλ) pushforward längs den skalära homotety S λ : X ↦ λ X . {\displaystyle S_{\lambda }:X\mapsto \lambda X.}
Ett särskilt fall av en icke-linjär förbindelse som uppstår på detta sätt är den som är associerad med en Finslermanifold.
Affina och projektiva geodetikerRedigera
Förutsättning (1) är invariant under affina reparameteriseringar; det vill säga parameteriseringar av formen
t ↦ a t + b {\displaystyle t\mapsto at+b}
där a och b är konstanta reella tal. Förutom att ange en viss klass av inbäddade kurvor bestämmer alltså den geodetiska ekvationen också en föredragen klass av parameteriseringar på var och en av kurvorna. Följaktligen kallas lösningar på (1) för geodetiker med affin parameter.
En affin förbindelse bestäms av sin familj av geodetiker med affin parameter, upp till torsion (Spivak 1999, kapitel 6, Addendum I). Torsionen i sig påverkar faktiskt inte familjen av geodetiska linjer, eftersom den geodetiska ekvationen endast beror på den symmetriska delen av förbindelsen. Mer exakt, om ∇ , ∇ ¯ {\displaystyle \nabla ,{\bar {\nabla }}}
är två förbindelser så att differenstensorn D ( X , Y ) = ∇ X Y – ∇ ¯ X Y {\displaystyle D(X,Y)=\nabla _{X}Y-{\bar {\nabla }}_{X}Y}
