Potenzgesetz und Potenzgesetzverteilung

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Was ist das Potenzgesetz?

Das Potenzgesetz (auch Skalierungsgesetz genannt) besagt, dass eine relative Änderung einer Größe zu einer proportionalen relativen Änderung einer anderen führt. Das einfachste Beispiel für die Anwendung des Gesetzes ist ein Quadrat; wenn man die Länge einer Seite verdoppelt (z. B. von 2 auf 4 Zoll), vervierfacht sich die Fläche (von 4 auf 16 Zoll im Quadrat). Eine Potenzgesetz-Verteilung hat die Form Y = k Xα, wobei:

• X und Y die interessierenden Variablen sind,
• α der Exponent des Gesetzes ist,
• k eine Konstante ist.

Eine umgekehrte Beziehung wie Y = X-1 ist ebenfalls ein Potenzgesetz, da eine Änderung der einen Größe zu einer negativen Änderung der anderen führt.

Beispiele

Das Potenzgesetz kann verwendet werden, um ein Phänomen zu beschreiben, bei dem eine kleine Anzahl von Elementen am oberen Ende einer Verteilung (oder am unteren Ende) angesammelt ist und 95 % der Ressourcen beansprucht. Mit anderen Worten, es bedeutet, dass eine kleine Anzahl von Vorkommen häufig ist, während größere Vorkommen selten sind. Bei der Einkommensverteilung gibt es zum Beispiel nur sehr wenige Milliardäre; der Großteil der Bevölkerung verfügt über sehr bescheidene Notgroschen.

An einem Ende des Diagramms dominiert eine Häufung von Werten.

Weitere Beispiele für Phänomene mit dieser Art von Verteilung:

• Einkommensverteilung,
• Magnitude von Erdbeben,
• Größe von Städten nach Bevölkerung,
• Größe von Unternehmen,
• Handelsvolumen an der Börse,
• Worthäufigkeiten.

Wenn man zwei Größen mit logarithmischen Achsen gegeneinander aufträgt und sie eine lineare Beziehung aufweisen, bedeutet dies, dass die beiden Größen eine Potenzgesetzverteilung haben.

Logarithmische Darstellung zweier Variablen. Bild: NIST.gov.

Ähnliche Verteilungen und Gesetze

Eine besondere Art dieser Art von Verteilung ist das Pareto-Prinzip (auch Pareto-Gesetz genannt), ein unwissenschaftliches „Gesetz“, das besagt, dass 80 % der Wirkungen von 20 % der Ursachen herrühren. Mit anderen Worten: Das meiste von dem, was wir tun, hat wenig Wirkung.

Ein verwandtes Gesetz ist das Zipfsche Gesetz, das sich gewöhnlich auf die Häufigkeit eines Ereignisses im Verhältnis zu seinem Rang bezieht. Das Zipfsche Gesetz besagt, dass bei einer Liste der häufigsten Wörter in einem beliebigen Buch das häufigste Wort doppelt so oft vorkommt wie das zweithäufigste Wort, das wiederum doppelt so oft wie das dritthäufigste Wort vorkommt, und so weiter. In seiner einfachsten Form ist das Zipf’sche Gesetz gleich dem Potenzgesetz. Aus dem Zipf’schen Gesetz ergibt sich die Zeta-Verteilung.

Referenz:
Barker, J. (1999). Power Law. Retrieved 7-15-2015 from: https://www.ncnr.nist.gov/resources/sansmodels/PowerLaw.html.

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