En geodætisk på en glat mangfoldighed M med en affin forbindelse ∇ er defineret som en kurve γ(t) sådan, at parallel transport langs kurven bevarer tangentvektoren til kurven, så
|
∇ γ ˙ γ ˙ = 0 {\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{{\dot {\gamma }}=0}
 |
|
(1) |
i hvert punkt langs kurven, hvor γ ˙ {\displaystyle {\dot {\gamma }}}
er den afledte med hensyn til t {\\displaystyle t}
. Mere præcist, for at definere den kovariante afledte af γ ˙ {\displaystyle {\displaystyle {\dot {\gamma }}}
er det nødvendigt først at udvide γ ˙ {\displaystyle {\displaystyle {\dot {\gamma }}}
til et kontinuert differentierbart vektorfelt i et åbent sæt. Den resulterende værdi af (1) er imidlertid uafhængig af valget af udvidelse.
Ved anvendelse af lokale koordinater på M kan vi skrive den geodætiske ligning (ved hjælp af summationskonventionen) som
d 2 γ λ λ d t 2 + Γ μ μ ν λ d γ μ μ d t d γ ν d t = 0 , {\displaystyle {\frac {\frac {d^{2}\gamma ^{\lambda }}{dt^{2}}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {d\gamma ^{\mu }}{dt}}}{\frac {d\gamma ^{\nu }}{dt}}}=0\ ,}
hvor γ μ = x μ ∘ γ ( t ) {\displaystyle \gamma ^{\mu }=x^{{\mu }\circ \gamma (t)}
er koordinaterne for kurven γ(t) og Γ μ ν λ {\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}
er Christoffel-symbolerne for forbindelsen ∇. Dette er en almindelig differentialligning for koordinaterne. Den har en entydig løsning, givet en begyndelsesposition og en begyndelseshastighed. Ud fra den klassiske mekaniks synsvinkel kan geodætiske linjer derfor opfattes som frie partiklers baner i en mangfoldighed. Faktisk er ligningen ∇ γ ˙ γ ˙ = 0 {\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{{\dot {\gamma }}=0}
betyder, at kurvens accelerationsvektor ikke har nogen komponenter i overfladens retning (og derfor er den vinkelret på overfladens tangentplan i hvert punkt på kurven). Så bevægelsen er fuldstændig bestemt af overfladens bøjning. Dette er også idéen i den generelle relativitetsteori, hvor partikler bevæger sig på geodætiske baner, og hvor bøjningen skyldes tyngdekraften.
Eksistens og entydighedRediger
Den lokale eksistens- og entydighedssætning for geodætiske baner siger, at geodætiske baner på en glat mangfoldighed med en affin forbindelse eksisterer og er entydige. Mere præcist:
For ethvert punkt p i M og for enhver vektor V i TpM (det tangentrum til M ved p) findes der en unik geodæse γ {\displaystyle \gamma \,}
: I → M således at γ ( 0 ) = p {\displaystyle \gamma (0)=p\,}
og γ ˙ ( 0 ) = V , {\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=V,}
hvor I er et maksimalt åbent interval i R, der indeholder 0.
Beviset for denne sætning følger af teorien om almindelige differentialligninger ved at bemærke, at den geodætiske ligning er en andenordens ODE. Eksistens og entydighed følger derefter af Picard-Lindelöf-sætningen for løsninger af ODE’er med foreskrevne begyndelsesbetingelser. γ afhænger jævnt af både p og V.
I almindelighed er I måske ikke hele R, som f.eks. for en åben skive i R2. Ethvert γ strækker sig til hele ℝ, hvis og kun hvis M er geodætisk komplet.
Geodætisk strømningRediger
Geodætisk strømning er en lokal R-aktion på tangentbundtet TM af en mangfoldighed M defineret på følgende måde
G t ( V ) = γ ˙ V ( t ) {\displaystyle G^{t}(V)={\dot {\gamma }}_{V}(t)}
hvor t ∈ R, V ∈ TM og γ V {\displaystyle \gamma _{V}}
betegner den geodætiske linje med begyndelsesdata γ ˙ V ( 0 ) = V {\displaystyle {\dot {\gamma }}_{V}_{V}(0)=V}
. Således er G t {\displaystyle G^{t}}
(V) = exp(tV) er det eksponentielle kort for vektoren tV. En lukket bane for den geodætiske strømning svarer til en lukket geodætisk strømning på M.
På en (pseudo-)Riemannsk mangfoldighed identificeres den geodætiske strømning med en Hamiltonstrømning på cotangentbundtet. Hamiltonianen er så givet ved den omvendte af den (pseudo-)riemannske metrik, evalueret i forhold til den kanoniske enform. Strømmen bevarer især den (pseudo-)riemannske metrik g {\displaystyle g}
, dvs. g ( G t ( V ) , G t ( V ) ) = g ( V , V ) . {\\displaystyle g(G^{t}(V),G^{t}(V))=g(V,V).\,}
I særdeleshed, når V er en enhedsvektor, er γ V {\displaystyle \gamma _{V}}
forbliver enhedshastighed hele vejen igennem, så den geodætiske strømning er tangent til enhedstangentbundtet. Liouvilles sætning indebærer invarians af et kinematisk mål på enhedstangentbundtet.
Geodætisk sprayRediger
Den geodætiske strømning definerer en familie af kurver i det tangentbunke. De afledte af disse kurver definerer et vektorfelt på det samlede rum af tangentbundtet, kendt som den geodætiske spray.
Mere præcist giver en affin forbindelse anledning til en opsplitning af det dobbelte tangentbundt TTM i horisontale og vertikale bundter:
T T T M = H ⊕ V . {\displaystyle TTM=H\oplus V.}
Den geodætiske spray er det unikke horisontale vektorfelt W, der opfylder
π ∗ W v = v {\displaystyle \pi _{*}W_{v}=v\,}
i hvert punkt v ∈ TM; her π∗ : TTM → TM betegner pushforward (differential) langs projektionen π : TM → M, der er associeret med tangentbundtet.
Mere generelt giver den samme konstruktion mulighed for at konstruere et vektorfelt for en hvilken som helst Ehresmann-forbindelse på tangentbundtet. For at det resulterende vektorfelt skal være en spray (på det slettede tangentbundt TM \ {0}) er det nok, at forbindelsen er equivariant under positive rescaleringer: den behøver ikke at være lineær. Det vil sige, (jf. Ehresmann-forbindelse#Vektorbunke og kovariante derivater) er det nok, at den horisontale fordeling opfylder
H λ X = d ( S λ ) X H X {\displaystyle H_{\lambda X}=d(S_{{\lambda })_{X}H_{X}\},}
for hvert X ∈ TM \ {0} og λ > 0. Her er d(Sλ) pushforward langs den skalare homotetet S λ : X ↦ λ X . {\displaystyle S_{\lambda }:X\mapsto \lambda X.}
Et særligt tilfælde af en ikke-lineær forbindelse, der opstår på denne måde, er den, der er knyttet til en Finsler-mangfoldighed.
Affine og projektive geodætiskeEdit
Geligning (1) er invariant under affine reparameteriseringer; det vil sige parameteriseringer af formen
t ↦ a t + b {\displaystyle t\mapsto at+b}
hvor a og b er konstante reelle tal. Ud over at specificere en bestemt klasse af indlejrede kurver bestemmer den geodætiske ligning således også en foretrukken klasse af parameteriseringer på hver af kurverne. Følgelig kaldes løsninger af (1) geodæser med affine parametre.
En affin forbindelse bestemmes af dens familie af affint parameteriserede geodæser, op til torsion (Spivak 1999, kapitel 6, addendum I). Selve torsionen påvirker i virkeligheden ikke familien af geodætiske linjer, da den geodætiske ligning kun afhænger af den symmetriske del af forbindelsen. Mere præcist, hvis ∇ , ∇ ¯ {\displaystyle \nabla ,{\bar {\nabla }}}
er to forbindelser, således at differencetensoren D ( X , Y ) = ∇ X Y – ∇ ¯ X Y {\displaystyle D(X,Y)=\nabla _{X}Y-{\bar {\nabla }}_{X}Y}
