Klassiskt fasrumRedigera
Beskrivningen av ett klassiskt system med F frihetsgrader kan anges i termer av ett 2F-dimensionellt fasrum, vars koordinataxlar består av systemets F generaliserade koordinater qi och dess F generaliserade momenta pi. Mikrotillståndet för ett sådant system kommer att specificeras av en enda punkt i fasrummet. Men för ett system med ett stort antal frihetsgrader är dess exakta mikrotillstånd vanligtvis inte viktigt. Fasrummet kan därför delas in i celler av storleken h0=ΔqiΔpi , som var och en behandlas som ett mikrotillstånd. Nu är mikrotillstånden diskreta och räkningsbara och den inre energin U har inte längre ett exakt värde utan ligger mellan U och U+δU, med δ U ≪ U {\textstyle \delta U\ll U}
.
Antalet mikrotillstånd Ω som ett slutet system kan inta är proportionellt mot dess fasrumsvolym:
varvid 1 δ U ( H ( x ) – U ) {\textstyle \mathbf {1} _{\\delta U}(H(x)-U)}
är en indikatorfunktion. Den är 1 om Hamiltonfunktionen H(x) i punkten x = (q,p) i fasrummet ligger mellan U och U+ δU och 0 om den inte gör det. Konstanten 1 h 0 F {\textstyle {\frac {\frac {1}{h_{0}^{\mathcal {F}}}}}
gör Ω(U) dimensionslös. För en idealgas är Ω ( U ) ∝ F U F 2 – 1 δ U {\displaystyle \Omega (U)\propto {\mathcal {F}}}U^{{\frac {\mathcal {F}}}{2}}}-1}\delta U}
.
I denna beskrivning kan partiklarna särskiljas. Om positionen och rörelsemängden hos två partiklar byts ut kommer det nya tillståndet att representeras av en annan punkt i fasrummet. I detta fall kommer en enda punkt att representera ett mikrotillstånd. Om en delmängd av M partiklar inte kan särskiljas från varandra, kommer M! möjliga permutationer eller möjliga utbyten av dessa partiklar att räknas som en del av ett enda mikrotillstånd. Mängden möjliga mikrotillstånd återspeglas också i begränsningarna för det termodynamiska systemet.
Till exempel, i fallet med en enkel gas av N partiklar med total energi U som finns i en kub med volymen V, där ett prov av gasen inte kan särskiljas från något annat prov med experimentella metoder, kommer ett mikrotillstånd att bestå av de ovan nämnda N! punkter i fasrymden, och mängden mikrotillstånd kommer att begränsas till att alla positionskoordinater ligger inom lådan och att momentanerna ligger på en hypersfärisk yta i impulskoordinater med radien U. Om systemet å andra sidan består av en blandning av två olika gaser, vars prover kan särskiljas från varandra, låt oss säga A och B, ökar antalet mikrotillstånd, eftersom två punkter där en A och en B-partikel byts ut i fasrymden inte längre är en del av samma mikrotillstånd. Två partiklar som är identiska kan ändå vara möjliga att särskilja på grundval av t.ex. deras placering. (Se konfigurationsentropi.) Om lådan innehåller identiska partiklar och befinner sig i jämvikt, och en skiljevägg sätts in och delar volymen på hälften, kan partiklarna i den ena lådan nu särskiljas från partiklarna i den andra lådan. I fasrummet är de N/2 partiklarna i varje låda nu begränsade till en volym V/2 och deras energi begränsad till U/2, och antalet punkter som beskriver ett enskilt mikrotillstånd kommer att förändras: beskrivningen av fasrummet är inte densamma.
Detta har konsekvenser både för Gibbs paradox och korrekt Boltzmannräkning. När det gäller Boltzmannräkning är det mångfalden av punkter i fasrummet som effektivt minskar antalet mikrotillstånd och gör entropin omfattande. När det gäller Gibbs paradox är det viktiga resultatet att ökningen av antalet mikrotillstånd (och därmed ökningen av entropin) till följd av införandet av skiljeväggen exakt motsvaras av minskningen av antalet mikrotillstånd (och därmed minskningen av entropin) till följd av minskningen av den volym som är tillgänglig för varje partikel, vilket ger en nettoförändring av entropin på noll.