Den kinematiska approximationen blir ogiltig när magnetfältet blir tillräckligt starkt för att påverka vätskerörelserna. I det fallet blir hastighetsfältet påverkat av Lorentzkraften, och därför är induktionsekvationen inte längre linjär i magnetfältet. I de flesta fall leder detta till en dämpning av dynamots amplitud. Sådana dynamon kallas ibland också för hydromagnetiska dynamon. praktiskt taget alla dynamon inom astrofysik och geofysik är hydromagnetiska dynamon.
Den huvudsakliga idén med teorin är att varje litet magnetfält som existerar i den yttre kärnan skapar strömmar i den rörliga vätskan där på grund av Lorenzkraften. Dessa strömmar skapar ytterligare ett magnetfält på grund av Ampere’s lag. Med vätskans rörelse transporteras strömmarna på ett sådant sätt att magnetfältet blir starkare (så länge u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
är negativ). Således kan ett ”frö” magnetfält bli starkare och starkare tills det når ett visst värde som är relaterat till existerande icke-magnetiska krafter.
Numeriska modeller används för att simulera helt olinjära dynamos. Följande ekvationer används:
- Induktionsekvationen, som presenteras ovan.
- Maxwells ekvationer för försumbart elektriskt fält:
∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}
∇ × B = μ 0 J {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }
- Kontinuitetsekvationen för massans bevarande, för vilken Boussinesq-approximationen ofta används:
∇ ⋅ u = 0 , {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0,}
- Navier-Stokes ekvation för bevarande av rörelsemängd, återigen i samma approximation, med magnetkraften och gravitationskraften som yttre krafter:
D u D t = – 1 ρ 0 ∇ p + ν ∇ 2 u + ρ ′ g + 2 Ω × u + Ω × Ω × R + 1 ρ 0 J × B , {\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}}=-{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\rho ’\mathbf {g}} +2\mathbf {\Omega } \times \mathbf {u} +\mathbf {\Omega } \times \mathbf {\Omega } \times \mathbf {R} +{\frac {1}{\rho _{0}}}\mathbf {J} \times \mathbf {B} ,}
där ν {\displaystyle \nu }
är den kinematiska viskositeten, ρ 0 {\displaystyle \rho _{0}}
är medeldensiteten och ρ ′ {\displaystyle \rho ’}
är den relativa densitetsstörning som ger flytkraft (för termisk konvektion ρ ′ = α Δ T {\displaystyle \rho ’=\alpha \Delta T}
där α {\displaystyle \alpha }
är värmeutvidgningskoefficienten), Ω {\displaystyle \Omega }
är jordens rotationshastighet och J {\displaystyle \mathbf {J} }
är den elektriska strömtätheten.
- En transportekvation, vanligtvis för värme (ibland för koncentrationen av lätta element):
∂ T ∂ t = κ ∇ 2 T + ϵ {\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}}=\kappa \nabla ^{2}T+\epsilon }
där T är temperaturen, κ = k / ρ c p {\displaystyle \kappa =k/\rho c_{p}}
är den termiska diffusiviteten med k värmeledningsförmåga, c p {\displaystyle c_{p}}
värmekapacitet och ρ {\displaystyle \rho }
densitet och ϵ {\displaystyle \epsilon }
är en valfri värmekälla. Ofta är trycket det dynamiska trycket, med det hydrostatiska trycket och centripetalpotentialen borttagna.
Dessa ekvationer är sedan icke-dimensionaliserade, genom att införa de icke-dimensionella parametrarna,
R a = g α T D 3 ν κ , E = ν Ω D 2 , P r = ν κ , P m = ν η {\displaystyle Ra={\frac {g\alpha TD^{3}}}{\nu \kappa }},E={\frac {\nu }{\Omega D^{2}}}},Pr={\frac {\nu }{\kappa }},Pm={\frac {\nu }{\eta }}}
där Ra är Rayleightal, E Ekmantal, Pr och Pm Prandtltal och magnetiskt Prandtltal. Skalering av magnetfältet sker ofta i Elsassertalsenheter B = ( ρ Ω / σ ) 1 / 2 {\displaystyle B=(\rho \Omega /\sigma )^{1/2}}
.
Energiomvandling mellan magnetisk och kinematisk energiRedigera
Skalarprodukten av ovanstående form av Navier-Stokes ekvation med ρ 0 u {\displaystyle \rho _{0}\mathbf {u} }
ger ökningstakten för den kinetiska energitätheten, ( 1 / 2 ) ρ 0 u 2 {\displaystyle (1/2)\rho _{0}u^{2}}}
, på vänster sida. Den sista termen på höger sida är då u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
, det lokala bidraget till den kinetiska energin på grund av Lorentzkraften.
Skalarprodukten av induktionsekvationen med ( 1 / μ 0 ) B {\displaystyle (1/\mu _{0})\mathbf {B} }
ger ökningstakten för den magnetiska energitätheten, ( 1 / 2 μ 0 ) B 2 {\displaystyle (1/2\mu _{0})B^{2}}
, på vänster sida. Den sista termen på höger sida är då ( 1 / μ 0 ) B ⋅ ( ∇ × ( u × B ) ) {\displaystyle (1/\mu _{0})\mathbf {B} \cdot \left(\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )\right)}
. Eftersom ekvationen är volymintegrerad, är denna term ekvivalent upp till en gränsterm (och med dubbel användning av identiteten för den skalära trippelprodukten) till – u ⋅ ( ( ( 1 / μ 0 ) ( ∇ × B ) × B ) ) = – u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle -\mathbf {u} \cdot \left((1/\mu _{0})(\nabla \times \mathbf {B} )\times \mathbf {B} )\right)=-\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
(där en av Maxwells ekvationer användes). Detta är det lokala bidraget till den magnetiska energin på grund av vätskans rörelse.
Då termen – u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle -\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
är omvandlingshastigheten av kinetisk energi till magnetisk energi. Denna måste vara icke-negativ åtminstone i en del av volymen för att dynamon ska kunna producera ett magnetfält.
Utifrån diagrammet ovan är det inte tydligt varför denna term ska vara positiv. Ett enkelt argument kan baseras på beaktande av nettoeffekter. För att skapa magnetfältet måste den elektriska nettoströmmen slingra sig runt planetens rotationsaxel. För att termen ska vara positiv måste i så fall nettoflödet av ledande materia vara i riktning mot rotationsaxeln. Diagrammet visar endast ett nettoflöde från polerna till ekvatorn. För att bevara massan krävs dock ett ytterligare flöde från ekvatorn mot polerna. Om detta flöde var längs rotationsaxeln innebär det att cirkulationen skulle kompletteras med ett flöde från de som visas mot rotationsaxeln, vilket ger den önskade effekten.
Storleksordning för det magnetfält som skapas av jordens dynamoRedigera
Ovanstående formel för omvandlingshastigheten av kinetisk energi till magnetisk energi, är likvärdig med en arbetshastighet som utförs av en kraft på J × B {\displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {B} }
på den yttre kärnans materia, vars hastighet är u {\displaystyle \mathbf {u} }
. Detta arbete är resultatet av icke-magnetiska krafter som verkar på vätskan.
Av dessa är gravitationskraften och centrifugalkraften konservativa och har därför inget övergripande bidrag till att vätskan rör sig i slutna kretsar. Ekman-talet (definierat ovan), som är förhållandet mellan de två återstående krafterna, nämligen viskositeten och corioliskraften, är mycket lågt inne i jordens yttre kärna, eftersom dess viskositet är låg (1,2-1.5 x10-2 pascal-sekund ) på grund av dess likviditet.
Därmed är det huvudsakliga tidsmedelvärdesberäknade bidraget till arbetet från corioliskraften, vars storlek är – 2 ρ Ω × u {\displaystyle -2\rho \,\mathbf {\Omega } \times \mathbf {u} }
, även om denna kvantitet och J × B {\displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {B} }
är relaterade endast indirekt och är i allmänhet inte lika lokalt (de påverkar alltså varandra men inte på samma plats och i samma tid).
Strömtätheten J är i sig själv ett resultat av magnetfältet enligt Ohms lag. Återigen, på grund av materiens rörelse och strömflödet, är detta inte nödvändigtvis fältet på samma plats och tid. Dessa relationer kan dock fortfarande användas för att härleda storleksordningar för storheterna i fråga.
I termer av storleksordning kan J B ∼ ρ Ω u {\displaystyle J\,B\sim \rho \,\Omega \,u}
och J ∼ σ u B {\displaystyle J\sim \sigma uB}
, vilket ger σ u B 2 ∼ ρ Ω u {\displaystyle \sigma \,u\,B^{2}\sim \rho \,\Omega \,u}
, eller: B ∼ ρ Ω σ σ {\displaystyle B\sim {\sqrt {\frac {\rho \,\Omega }{\sigma }}}}
Det exakta förhållandet mellan de båda sidorna är kvadratroten av Elsassertalet.
Notera att magnetfältets riktning inte kan härledas från denna approximation (åtminstone inte dess tecken) eftersom den är kvadratisk, och ibland är den faktiskt omvänd, även om den generellt sett ligger på en liknande axel som den för Ω {\displaystyle \mathbf {\Omega } }
.
För jordens yttre kärna är ρ ungefär 104 kg/m3, Ω=2π/dag = 7,3×10-5 sekunder och σ är ungefär 107Ω-1m-1. Detta ger 2,7×10-4 Tesla.
Magnetfältet hos en magnetisk dipol har ett omvänt kubiskt beroende av avståndet, så dess storleksordning vid jordytan kan approximeras genom att multiplicera ovanstående resultat med (yttre kärna/jord)3 = (2890/6370)3 = 0,093, vilket ger 2,5×10-5 Tesla, vilket inte är långt ifrån det uppmätta värdet på 3×10-5 Tesla vid ekvatorn.