Geleidbaarheid van intrinsieke halfgeleiders
Het geleidingsvermogen (σ) is het product van de dichtheid van het aantal dragers (n of p), hun lading (e), en hun mobiliteit (µ). Herinner u uit hoofdstuk 6 dat µ de verhouding is tussen de voortbewegingssnelheid van de drager en het elektrisch veld en eenheden heeft van cm2/Volt-seconde. Gewoonlijk hebben elektronen en gaten enigszins verschillende mobiliteitscapaciteiten (respectievelijk µe en µh), zodat het geleidingsvermogen wordt gegeven door:
Voor elk type ladingsdrager herinneren wij ons uit hoofdstuk 6 dat de mobiliteit μ wordt gegeven door:
waarbij e de fundamentele eenheid van lading is, τ de verstrooiingstijd is, en m de effectieve massa van de ladingsdrager is.
Met behulp van een gemiddelde van de elektronen- en gatenmobiliteiten en n = p verkrijgt men
Door de geleidbaarheid als functie van de temperatuur te meten, verkrijgt men de activeringsenergie voor geleiding, die Egap/2 is. Een dergelijke grafiek, die lijkt op een Arrhenius-grafiek, is rechts afgebeeld voor drie verschillende ongedoopte halfgeleiders. De helling van de lijn is in elk geval -Egap/2k.
Plotten van ln(σ) versus inverse temperatuur voor de intrinsieke halfgeleiders Ge (Egap = 0,7 eV), Si (1,1 eV) en GaAs (1,4 eV). De helling van de lijn is -Egap/2k.
Dopering van halfgeleiders. Bij bijna alle toepassingen van halfgeleiders is gecontroleerde dopering, d.w.z. de vervanging van onzuivere atomen, in het rooster nodig. Zeer kleine hoeveelheden doteringsmateriaal (in het parts-per-million bereik) hebben een dramatisch effect op het geleidingsvermogen van halfgeleiders. Daarom zijn zeer zuivere halfgeleidermaterialen nodig die zorgvuldig gedopeerd zijn – zowel wat de concentratie als de ruimtelijke verdeling van de onzuiverheidsatomen betreft.
n- en p-type doping. In kristallijn Si heeft elk atoom vier valentie-elektronen en maakt het vier bindingen met zijn buren. Dit is precies het juiste aantal elektronen om de valentieband van de halfgeleider volledig te vullen. De introductie van een fosforatoom in het rooster (het positief geladen atoom in de figuur rechts) voegt een extra elektron toe, omdat P vijf valentie-elektronen heeft en er maar vier nodig heeft om bindingen met zijn buren aan te gaan. Het extra elektron is bij lage temperatuur gebonden aan het fosforatoom in een waterstofachtige moleculaire orbitaal die veel groter is dan de 3s orbitaal van een geïsoleerd P atoom vanwege de hoge diëlektrische constante van de halfgeleider. In silicium is deze “vergrote” Bohrstraal ongeveer 42 Å, d.w.z. 80 maal groter dan in het waterstofatoom. De energie die nodig is om dit elektron te ioniseren – om het vrij in het rooster te laten bewegen – is slechts ongeveer 40-50 meV, wat niet veel groter is dan de thermische energie (26 meV) bij kamertemperatuur. Daarom ligt het Fermi-niveau net onder de geleidingsbandrand, en een groot deel van deze extra elektronen wordt bij kamertemperatuur naar de geleidingsband gepromoveerd, met achterlating van vaste positieve ladingen op de P-atoomplaatsen. Het kristal is n-gedoteerd, wat betekent dat de meerderheidsdrager (elektron) negatief geladen is.
Aternatief kan boor in het rooster worden vervangen door silicium, wat resulteert in p-type doping, waarbij de meerderheidsdrager (gat) positief geladen is. Boor heeft slechts drie valentie-elektronen en “leent” er een van het Si rooster, waardoor een positief geladen gat ontstaat dat in een grote waterstofachtige baan rond het B-atoom bestaat. Dit gat kan worden gedelokaliseerd door een elektron uit de valentieband te promoveren om de gelokaliseerde gat-toestand op te vullen. Ook dit proces vergt slechts 40-50 meV, zodat bij kamertemperatuur een groot deel van de door boordopering geïntroduceerde gaten bestaat in gedelokaliseerde valentiebandtoestanden. Het Fermi-niveau (het elektronenenergieniveau dat bij nultemperatuur een 50% waarschijnlijkheid van bezetting heeft) ligt net boven de valentiebandrand in een p-type halfgeleider.
n- en p-type doping van halfgeleiders houdt in dat elektronendonoratomen (licht oranje) of -acceptoratomen (blauw) in het rooster worden gesubstitueerd. Deze substitutie introduceert respectievelijk extra elektronen of gaten, die gemakkelijk door thermische energie worden geïoniseerd om vrije dragers te worden. Het Fermi-niveau van een gedopeerde halfgeleider ligt enkele tientallen mV onder de geleidingsband (n-type) of boven de valentieband (p-type).
Zoals hierboven opgemerkt, verandert de doping van halfgeleiders hun geleidingsvermogen ingrijpend. Bijvoorbeeld, de intrinsieke dragerconcentratie in Si bij 300 K is ongeveer 1010 cm-3. Het massa-actie-evenwicht voor elektronen en gaten geldt ook voor gedoteerde halfgeleiders, zodat we kunnen schrijven:
Als we P vervangen door Si op het niveau van één deel per miljoen, is de concentratie van elektronen ongeveer 1016 cm-3, aangezien er ongeveer 1022 Si atomen/cm3 in het kristal zijn. Volgens de massa-actievergelijking, als n = 1016, dan is p = 104 cm-3. Deze berekening heeft drie gevolgen:
- De dichtheid van dragers in de gedopeerde halfgeleider (1016 cm-3) is veel hoger dan in het ongedopeerde materiaal (~1010 cm-3), zodat het geleidingsvermogen ook vele orden van grootte hoger is.
- De activeringsenergie voor geleiding is slechts 40-50 meV, zodat het geleidingsvermogen niet veel verandert met de temperatuur (in tegenstelling tot in de intrinsieke halfgeleider)
- De minderheidsdragers (in dit geval gaten) dragen niet bij tot het geleidingsvermogen, omdat hun concentratie zo veel lager is dan die van de meerderheidsdrager (elektronen).
Zo ook wordt bij p-type materialen het geleidingsvermogen gedomineerd door gaten, en is het ook veel hoger dan dat van de intrinsieke halfgeleider.
Chematiek van halfgeleiderdopering. Soms is het niet onmiddellijk duidelijk wat voor soort doping (n- of p-type) wordt geïnduceerd door een halfgeleiderkristalrooster te “verknoeien”. Naast de vervanging van onzuiverheidsatomen op normale plaatsen in het rooster (de voorbeelden hierboven voor Si), is het ook mogelijk te doperen met vacatures – ontbrekende atomen – en met interstitialen – extra atomen op plaatsen die normaal niet bezet zijn. Enkele eenvoudige regels luiden als volgt:
- Voor substituties leidt toevoeging van een atoom rechts in het periodiek systeem tot n-type doping, en een atoom links tot p-type doping.
Bij voorbeeld, wanneer TiO2 gedopeerd wordt met Nb op sommige van de Ti plaatsen, of met F op O plaatsen, is het resultaat n-type doping. In beide gevallen heeft het onzuiverheidsatoom één valentie-elektron meer dan het atoom waarvoor het in de plaats is gekomen. Evenzo resulteert het vervangen van een kleine hoeveelheid Zn door Ga in GaAs, of een kleine hoeveelheid Li door Ni in NiO, in p-type dopering.
- Anionvacatures resulteren in n-type dopering, en kationvacatures in p-type dopering.
Voorbeelden zijn anionvacatures in CdS1-x en WO3-x, die beide n-type halfgeleiders opleveren, en kopervacatures in Cu1-xO, dat een p-type halfgeleider oplevert.
- Interstitiële kationen (b.v. Li) doneren elektronen aan het rooster, wat n-type doping tot gevolg heeft. Interstitiële anionen zijn vrij zeldzaam, maar zouden resulteren in p-type dopering.
Soms kunnen er zowel p- als n-type dopering in hetzelfde kristal aanwezig zijn, bijvoorbeeld B en P onzuiverheden in een Si rooster, of kation en anion vacatures in een metaal oxide rooster. In dit geval compenseren de twee soorten dopering elkaar en wordt het doperingstype bepaald door het doperingstype dat in hogere concentratie aanwezig is. Een doteringsstof kan ook op meer dan één plaats aanwezig zijn. Si kan bijvoorbeeld zowel de Ga- als de As-lokatie in GaAs bezetten, en de twee substituties compenseren elkaar. Si heeft echter een lichte voorkeur voor de Ga-as plaats, hetgeen leidt tot n-type dopering.