べき乗則とべき乗分布

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What is Power Law?

The power law (called scaling law) states that an quantity in relative change is resulting in proportional relative changes in another. この法則の最も単純な例は正方形で、一辺の長さを 2 倍にすると (たとえば、2 インチから 4 インチ)、面積は 4 倍になります (4 インチから 16 インチの 2 乗まで)。 Power law distribution has the form Y = k Xα, where:

• X and Y are variables of interest,
• α is the law’s exponent,
• k is a constant.

Y = X-1 like any inverse relationship is also power law, because a change in one quantity results in the negative change in another.The function is a function of power law.The power law is in an quantity.

例

べき乗則は、少数のものが分布の上位（または下位）に集まり、資源の95％を占める現象を表すのに用いることができます。 つまり、少量の発生はよくあることで、大きな発生はまれであることを意味します。 たとえば、所得分布の場合、億万長者はほとんどおらず、人口の大部分は非常にささやかな巣ごもりをしています。

グラフの一端では、値のクラスタが支配的です。

この種の分布を持つ現象の他の例：

• 所得の分布、
• 地震の規模、
• 人口による都市の規模、
• 企業の規模、
• 株式市場の取引量、
• 単語の出現頻度。

2つの量を対数軸で互いにプロットして直線関係を示した場合、これは2つの量がべき乗分布であることを示しています。

Logarithmic plot of two variables.（2つの変数の対数プロット）。 画像はイメージです。 NIST.gov.

Similar Distributions and Laws

この種の分布の特別なタイプはパレート原理（パレートの法則とも呼ばれる）で、これは 80% の効果は 20% の原因から生まれるという非科学的な「法則」です。 つまり、私たちのすることのほとんどは、ほとんど効果がないのです。

関連する法則として、通常、ある事象の順位に対する頻度に言及するジップの法則がある。 ジップの法則は、任意の本の中で最も頻度の高い単語のリストが与えられたとき、最も頻度の高い単語は2番目に頻度の高い単語の2倍現れ、それは3番目に頻度の高い単語の2倍現れ、そして以下同様であるとしています。 最も単純な形では、Zipfの法則はべき乗の法則に等しい。 ジップの法則はゼータ分布を生み出す。

参考文献：
Barker, J. (1999). べき乗則。 から2015年7月15日に取得した。 https://www.ncnr.nist.gov/resources/sansmodels/PowerLaw.html.

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