Legge di potenza e distribuzione della legge di potenza

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Cos’è la legge di potenza?

La legge di potenza (chiamata anche legge di scala) afferma che un cambiamento relativo di una quantità si traduce in un cambiamento relativo proporzionale di un’altra. L’esempio più semplice di questa legge in azione è un quadrato; se si raddoppia la lunghezza di un lato (diciamo da 2 a 4 pollici) allora l’area quadruplicherà (da 4 a 16 pollici quadrati). Una distribuzione con legge di potenza ha la forma Y = k Xα, dove:

• X e Y sono variabili di interesse,
• α è l’esponente della legge,
• k è una costante.

Qualunque relazione inversa come Y = X-1 è anche una legge di potenza, perché un cambiamento in una quantità comporta un cambiamento negativo in un’altra.

Esempi

La legge di potenza può essere usata per descrivere un fenomeno in cui un piccolo numero di elementi è raggruppato in cima a una distribuzione (o in fondo), occupando il 95% delle risorse. In altre parole, implica che una piccola quantità di occorrenze è comune, mentre occorrenze più grandi sono rare. Per esempio, per quanto riguarda la distribuzione del reddito, ci sono pochissimi miliardari; la maggior parte della popolazione detiene gruzzoli molto modesti.

Un gruppo di valori domina ad una estremità del grafico.

Altri esempi di fenomeni con questo tipo di distribuzione:

• Distribuzione del reddito,
• Magnitudine dei terremoti,
• Dimensione delle città in base alla popolazione,
• Dimensione delle società,
• Volumi di scambio in borsa,
• frequenze delle parole.

Se si tracciano due quantità l’una contro l’altra con assi logaritmici e mostrano una relazione lineare, questo indica che le due quantità hanno una distribuzione con legge di potenza.

Trama logaritmico di due variabili. Immagine: NIST.gov.

Distribuzioni e leggi simili

Un tipo speciale di questo tipo di distribuzione è il principio di Pareto (chiamato anche legge di Pareto), che è una “legge” non scientifica che afferma che l’80% degli effetti deriva dal 20% delle cause. In altre parole, la maggior parte di ciò che facciamo ha poco effetto.

Una legge correlata è la legge di Zipf che di solito si riferisce alla frequenza di un evento rispetto al suo grado. La legge di Zipf afferma che, data una lista delle parole più frequenti in un libro arbitrario, la parola più frequente apparirà due volte più spesso della seconda parola più frequente, che apparirà due volte più spesso della terza più frequente, e così via. Nella sua forma più semplice, la legge di Zipf è uguale alla legge di potenza. La legge di Zipf dà origine alla distribuzione Zeta.

Riferimento:
Barker, J. (1999). Legge di potenza. Recuperato 7-15-2015 da : https://www.ncnr.nist.gov/resources/sansmodels/PowerLaw.html.

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