Loi de puissance et distribution de la loi de puissance

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Qu’est-ce que la loi de puissance ?

La loi de puissance (également appelée loi d’échelle) stipule qu’un changement relatif d’une quantité entraîne un changement relatif proportionnel d’une autre. L’exemple le plus simple de cette loi en action est un carré ; si vous doublez la longueur d’un côté (disons, de 2 à 4 pouces), alors la surface quadruplera (de 4 à 16 pouces carrés). Une distribution de loi de puissance a la forme Y = k Xα, où:

• X et Y sont des variables d’intérêt,
• α est l’exposant de la loi,
• k est une constante.

Toute relation inverse comme Y = X-1 est également une loi de puissance, parce qu’un changement dans une quantité entraîne un changement négatif dans une autre.

Exemples

La loi de puissance peut être utilisée pour décrire un phénomène où un petit nombre d’éléments est regroupé en haut d’une distribution (ou en bas), prenant 95% des ressources. En d’autres termes, elle implique qu’un petit nombre d’occurrences est commun, tandis que les occurrences plus importantes sont rares. Par exemple, en ce qui concerne la distribution des revenus, il y a très peu de milliardaires ; la majeure partie de la population détient des pécules très modestes.

Un groupe de valeurs domine à une extrémité du graphique.

Autres exemples de phénomènes présentant ce type de distribution :

• Distribution des revenus,
• Magnitude des tremblements de terre,
• Taille des villes en fonction de la population,
• Taille des entreprises,
• Volumes des transactions en bourse,
• Fréquences des mots.

Si vous tracez deux quantités l’une par rapport à l’autre avec des axes logarithmiques et qu’elles montrent une relation linéaire, cela indique que les deux quantités ont une distribution en loi de puissance.

Trace logarithmique de deux variables. Image : NIST.gov.

Distributions et lois similaires

Un type particulier de ce type de distribution est le principe de Pareto (également appelé loi de Pareto), qui est une « loi » non scientifique selon laquelle 80% des effets proviennent de 20% des causes. En d’autres termes, la plupart de ce que nous faisons a peu d’effet.

Une loi connexe est la loi de Zipf qui fait généralement référence à la fréquence d’un événement par rapport à son rang. La loi de Zipf stipule que, étant donné une liste des mots les plus fréquents dans un livre arbitraire, le mot le plus fréquent apparaîtra deux fois plus souvent que le deuxième mot le plus fréquent, qui apparaîtra deux fois plus souvent que le troisième plus fréquent, et ainsi de suite. Dans sa forme la plus simple, la loi de Zipf est égale à la loi de puissance. La loi de Zipf donne lieu à la distribution Zeta.

Référence:
Barker, J. (1999). Power Law. Récupéré le 7-15-2015 de : https://www.ncnr.nist.gov/resources/sansmodels/PowerLaw.html.

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