Den kinematiske tilnærmelse bliver ugyldig, når det magnetiske felt bliver stærkt nok til at påvirke væskens bevægelser. I det tilfælde bliver hastighedsfeltet påvirket af Lorentz-kraften, og derfor er induktionsligningen ikke længere lineær i magnetfeltet. I de fleste tilfælde fører dette til en udslukning af dynamoens amplitude. Sådanne dynamoer kaldes undertiden også hydromagnetiske dynamoer. stort set alle dynamoer inden for astrofysik og geofysik er hydromagnetiske dynamoer.
Hovedidéen i teorien er, at ethvert lille magnetfelt, der eksisterer i den ydre kerne, skaber strømme i den bevægelige væske der på grund af Lorenz-kraft. Disse strømme skaber yderligere magnetfelt på grund af Ampere’s lov. Med væskens bevægelse bæres strømmene på en sådan måde, at magnetfeltet bliver stærkere (så længe u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
er negativ). Således kan et “seed”-magnetfelt blive stærkere og stærkere, indtil det når en værdi, der er relateret til de eksisterende ikke-magnetiske kræfter.
Numeriske modeller bruges til at simulere fuldt ud ikke-lineære dynamoer. Følgende ligninger anvendes:
- Induktionsligningen, præsenteret ovenfor.
- Maxwell’s ligninger for et ubetydeligt elektrisk felt:
∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}
∇ × B = μ 0 J {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }
- Kontinuitetsligningen for bevarelse af masse, for hvilken Boussinesq-approksimationen ofte anvendes:
∇ ⋅ u = 0 , {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0,}
- Navier-Stokes-ligningen for bevarelse af impuls, igen i samme approksimation, med den magnetiske kraft og gravitationskraften som de ydre kræfter:
D u D t = – 1 ρ 0 ∇ p + ν ∇ 2 u + ρ ′ g + 2 Ω × u + Ω × Ω × Ω × R + 1 ρ 0 J × B , {\displaystyle {\frac {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}}=-{\frac {1}{\rho _{0}}}}\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\rho ‘\mathbf {g} +2\mathbf {\Omega } \times \mathbf {u} +\mathbf {\Omega } \times \mathbf {\Omega } \times \mathbf {R} +{\frac {1}{\rho _{0}}}}\mathbf {J} \times \mathbf {B} ,}
hvor ν {{\displaystyle \nu }
er den kinematiske viskositet, ρ 0 {\displaystyle \rho _{0}}
er den gennemsnitlige massefylde og ρ ′ {\displaystyle \rho ‘}
er den relative tæthedsforstyrrelse, der giver opdrift (for termisk konvektion er ρ ′ = α Δ T {\displaystyle \rho ‘=\alpha \Delta T}
hvor α {\displaystyle \alpha }
er varmeudvidelseskoefficienten), Ω {\displaystyle \Omega }
er Jordens rotationshastighed, og J {\displaystyle \mathbf {J} }
er den elektriske strømtæthed.
- En transportligning, normalt for varme (undertiden for koncentrationen af lette grundstoffer):
∂ T ∂ t = κ ∇ 2 T + ϵ {\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}}=\kappa \nabla ^{2}T+\epsilon }
hvor T er temperaturen, κ = k / ρ c p {\displaystyle \kappa =k/\rho c_{p}}
er den termiske diffusivitet med k termisk ledningsevne, c p {\displaystyle c_{p}}
varmekapacitet, og ρ {\displaystyle \rho }
densitet, og ϵ {\displaystyle \epsilon }
er en valgfri varmekilde. Ofte er trykket det dynamiske tryk, hvor det hydrostatiske tryk og centripetalpotentialet er fjernet.
Disse ligninger er derefter ikke-dimensionaliseret, idet der indføres de ikke-dimensionelle parametre,
R a = g α T D 3 ν κ , E = ν Ω D 2 , P r = ν κ , P m = ν η {\displaystyle Ra={\frac {\frac {g\alpha TD^{3}}}{\nu \kappa }},E={\frac {\nu }{\Omega D^{2}}}},Pr={\frac {\frac {\nu }{\kappa }},Pm={\frac {\nu }{\eta }}}
hvor Ra er Rayleigh-tallet, E er Ekman-tallet, Pr og Pm er Prandtl-tallet og det magnetiske Prandtl-tallet. Skaleringen af det magnetiske felt er ofte i Elsasser-tal-enheder B = ( ρ Ω / σ ) 1 / 2 {\displaystyle B=(\rho \Omega /\sigma )^{1/2}}}
.
Energioverførsel mellem magnetisk og kinematisk energiRediger
Skalarproduktet af ovenstående form af Navier-Stokes-ligningen med ρ 0 u {\displaystyle \rho _{0}\mathbf {u} }
giver stigningshastigheden af den kinetiske energitæthed, ( 1 / 2 ) ρ 0 u 2 {\displaystyle (1/2)\rho _{0}u^{2}}}
, på venstre side. Det sidste udtryk på højre side er så u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
, det lokale bidrag til den kinetiske energi som følge af Lorentz-kraften.
Skalarproduktet af induktionsligningen med ( 1 / μ 0 ) B {\displaystyle (1/\mu _{0})\mathbf {B} }
giver stigningshastigheden af den magnetiske energitæthed, ( 1 / 2 μ 0 ) B 2 {\displaystyle (1/2\mu _{0})B^{2}}
, på venstre side. Det sidste udtryk på højre side er så ( 1 / μ 0 ) B ⋅ ( ∇ × ( u × B ) ) {\displaystyle (1/\mu _{0})\mathbf {B} \cdot \left(\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )\right)}
. Da ligningen er volumenintegreret, er dette udtryk ækvivalent op til et grænseterm (og med dobbelt anvendelse af identiteten for det skalare trippelprodukt) til – u ⋅ ( ( ( 1 / μ 0 ) ( ∇ × B ) × B ) ) ) = – u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle -\mathbf {u} \cdot \left((1/\mu _{0}))(\nabla \times \mathbf {B} )\times \mathbf {B} )\right)=-\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
(hvor en af Maxwell’s ligninger blev anvendt). Dette er det lokale bidrag til den magnetiske energi som følge af væskens bevægelse.
Dermed er udtrykket – u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle -\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
er hastigheden for omdannelse af kinetisk energi til magnetisk energi. Denne skal være ikke-negativ i det mindste i en del af volumenet, for at dynamoen kan producere et magnetfelt.
Fra diagrammet ovenfor er det ikke klart, hvorfor dette udtryk skal være positivt. Et simpelt argument kan være baseret på overvejelser om nettoeffekter. For at skabe magnetfeltet skal den elektriske nettostrøm vikle sig rundt om planetens rotationsakse. Hvis udtrykket skal være positivt, skal nettostrømmen af ledende stof i så fald være i retning af rotationsaksen. Diagrammet viser kun en nettostrøm fra polerne til ækvator. Men massebevarelse kræver en yderligere strøm fra ækvator mod polerne. Hvis denne strømning var langs rotationsaksen, indebærer det, at cirkulationen ville blive suppleret med en strømning fra de viste mod rotationsaksen, hvilket giver den ønskede effekt.
Størrelsesorden af det magnetfelt, der skabes af Jordens dynamoRediger
Overstående formel for omdannelseshastigheden af kinetisk energi til magnetisk energi, svarer til en hastighed af det arbejde, der udføres af en kraft på J × B {\displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {B} }
på det ydre kernematerie, hvis hastighed er u {\displaystyle \mathbf {u} }
. Dette arbejde er et resultat af ikke-magnetiske kræfter, der virker på væsken.
Af disse er gravitationskraften og centrifugalkraften konservative og har derfor ikke noget samlet bidrag til væske, der bevæger sig i lukkede kredsløb. Ekman-tallet (defineret ovenfor), som er forholdet mellem de to resterende kræfter, nemlig viskositeten og Corioliskraften, er meget lavt inde i Jordens ydre kerne, fordi dens viskositet er lav (1,2-1.5 x10-2 pascal-sekunder ) på grund af dens væskefylde.
Dermed er det vigtigste tidsmiddelværdige bidrag til arbejdet fra Corioliskraften, hvis størrelse er – 2 ρ Ω × u {\displaystyle -2\rho \,\mathbf {\Omega } \times \mathbf {u} }
, selv om denne størrelse og J × B {\displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {B} }
kun hænger indirekte sammen og er generelt ikke lige store lokalt (de påvirker altså hinanden, men ikke på samme sted og tid).
Stromtætheden J er i sig selv et resultat af magnetfeltet i henhold til Ohms lov. Igen er det på grund af materiens bevægelse og strømmenes flow ikke nødvendigvis feltet på samme sted og tid. Disse relationer kan dog stadig bruges til at udlede størrelsesordener for de pågældende størrelser.
Med hensyn til størrelsesordenen er J B ∼ ρ Ω u {\displaystyle J\,B\sim \rho \,\Omega \,u}
og J ∼ σ u B {\displaystyle J\sim \sigma uB}
, hvilket giver σ u B 2 ∼ ρ Ω u {\displaystyle \sigma \,u\,B^{2}\sim \rho \,\Omega \,u}
, eller: B ∼ ρ Ω σ σ { {\displaystyle B\sim {\sqrt {\frac {\rho \,\Omega }{\sigma }}}}
Det nøjagtige forhold mellem de to sider er kvadratroden af Elsasser-tallet.
Bemærk, at magnetfeltets retning ikke kan udledes af denne tilnærmelse (i hvert fald ikke dets fortegn), da det forekommer kvadreret, og det er faktisk nogle gange omvendt, selv om det generelt ligger på en lignende akse som Ω {\displaystyle \mathbf {\Omega } }
.
For jordens ydre kerne er ρ ca. 104 kg/m3, Ω=2π/dag = 7,3×10-5 sekunder og σ er ca. 107Ω-1m-1. Dette giver 2,7×10-4 Tesla.
Det magnetiske felt af en magnetisk dipol har en omvendt kubisk afhængighed i afstand, så dets størrelsesorden ved jordoverfladen kan tilnærmes ved at gange ovenstående resultat med (Rød kerne/REarth)3 = (2890/6370)3 = 0,093, hvilket giver 2,5×10-5 Tesla, ikke langt fra til den målte værdi på 3×10-5 Tesla ved ækvator.