Geodézie na hladkém mnohoúhelníku M s afinní vazbou ∇ je definována jako křivka γ(t) tak, že rovnoběžná doprava podél křivky zachovává tečný vektor ke křivce, takže
|
∇ γ ˙ γ ˙ = 0 {\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0}
 |
|
(1) |
v každém bodě podél křivky, kde γ ˙ {\displaystyle {\dot {\gamma }}}
je derivace vzhledem k t {\displaystyle t}
. Přesněji řečeno, abychom definovali kovariantní derivaci γ ˙ {\displaystyle {\dot {\gamma }}}.
je třeba nejprve rozšířit γ ˙ {\displaystyle {\dot {\gamma }}}.
na spojitě diferencovatelné vektorové pole v otevřené množině. Výsledná hodnota (1) je však na volbě rozšíření nezávislá.
Při použití lokálních souřadnic na M můžeme geodetickou rovnici zapsat (s použitím součtové konvence) jako
d 2 γ λ d t 2 + Γ μ ν λ d γ μ d t d γ ν d t = 0 , {\displaystyle {\frac {d^{2}\gamma ^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {d\gamma ^{\mu }}{dt}}{\frac {d\gamma ^{\nu }}{dt}}=0\ ,}
kde γ μ = x μ ∘ γ ( t ) {\displaystyle \gamma ^{\mu }=x^{\mu }\circ \gamma (t)}
jsou souřadnice křivky γ(t) a Γ μ ν λ {\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}
jsou Christoffelovy symboly spojení ∇. Jedná se o obyčejnou diferenciální rovnici pro souřadnice. Má jednoznačné řešení, je-li dána počáteční poloha a počáteční rychlost. Z hlediska klasické mechaniky si tedy geodetiky můžeme představit jako trajektorie volných částic v množině. Ve skutečnosti platí rovnice ∇ γ ˙ γ ˙ = 0 {\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0}
znamená, že vektor zrychlení křivky nemá žádné složky ve směru povrchu (a je tedy v každém bodě křivky kolmý na tečnou rovinu povrchu). Pohyb je tedy zcela určen ohybem plochy. To je také myšlenka obecné teorie relativity, kde se částice pohybují po geodetických drahách a ohyb je způsoben gravitací.
Existence a jedinečnostUpravit
Lokální věta o existenci a jedinečnosti geodetik říká, že geodetiky na hladkém mnohoúhelníku s afinní vazbou existují a jsou jedinečné. Přesněji:
Pro libovolný bod p v M a pro libovolný vektor V v TpM (tečný prostor k M v bodě p) existuje jedinečná geodetika γ {\displaystyle \gamma \,}
: I → M taková, že γ ( 0 ) = p {\displaystyle \gamma (0)=p\,}
a γ ˙ ( 0 ) = V , {\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=V,}
kde I je maximální otevřený interval v R obsahující 0.
Důkaz této věty vyplývá z teorie obyčejných diferenciálních rovnic, když si všimneme, že geodetická rovnice je ODE druhého řádu. Existence a jednoznačnost pak vyplývá z Picardovy-Lindelöfovy věty pro řešení ODE s předepsanými počátečními podmínkami. γ hladce závisí jak na p, tak na V.
V obecné rovině nemusí být I celé R, jako například pro otevřený disk v R2. Každé γ se rozšiřuje do celého ℝ tehdy a jen tehdy, když je M geodeticky úplné.
Geodetický tokEdit
Geodetický tok je lokální R-akce na tečném svazku TM mnohoúhelníku M definovaná následujícím způsobem
G t ( V ) = γ ˙ V ( t ) {\displaystyle G^{t}(V)={\dot {\gamma }}_{V}(t)}
kde t ∈ R, V ∈ TM a γ V {\displaystyle \gamma _{V}}
označuje geodetickou dráhu s počátečními daty γ ˙ V ( 0 ) = V {\displaystyle {\dot {\gamma }}_{V}(0)=V}
. Tedy G t {\displaystyle G^{t}}
(V) = exp(tV) je exponenciální mapa vektoru tV. Uzavřené orbitě geodetického toku odpovídá uzavřená geodézie na M.
Na (pseudo)Riemannově mnohoúhelníku je geodetický tok ztotožněn s Hamiltonovým tokem na kotangentním svazku. Hamiltonián je pak dán inverzí (pseudo)riemanovské metriky, vyhodnocenou vůči kanonické jednoformě. Tok zachovává zejména (pseudo)Riemannovu metriku g {\displayystyle g}.
, tj. g ( G t ( V ) , G t ( V ) ) = g ( V , V ) . {\displaystyle g(G^{t}(V),G^{t}(V))=g(V,V).\,}
Zejména je-li V jednotkový vektor, γ V {\displaystyle \gamma _{V}}.
zůstává po celou dobu jednotková rychlost, takže geodetický tok je tečnou k jednotkovému tečnému svazku. Z Liouvillovy věty vyplývá invariance kinematické míry na jednotkovém tečném svazku.
Geodetický tokEdit
Geodetický tok definuje rodinu křivek v tečném svazku. Derivace těchto křivek definují vektorové pole na celkovém prostoru tečného svazku, známé jako geodetický nástřik.
Přesněji řečeno, afinní spojení dává vzniknout rozdělení dvojitého tečného svazku TTM na horizontální a vertikální svazky:
T T M = H ⊕ V . {\displayystyle TTM=H\oplus V.}.
Geodetický rozptyl je jedinečné horizontální vektorové pole W splňující
π ∗ W v = v {\displaystyle \pi _{*}W_{v}=v\,}
v každém bodě v ∈ TM; zde π∗ : TTM → TM označuje pushforward (diferenciál) podél projekce π : TM → M spojené s tečným svazkem.
Ještě obecněji lze stejnou konstrukcí zkonstruovat vektorové pole pro libovolnou Ehresmannovu vazbu na tečném svazku. Aby výsledné vektorové pole bylo nástřikem (na vymazaném tečném svazku TM \ {0}), stačí, aby spojení bylo ekivariantní při kladných přeškálováních: nemusí být lineární. To znamená, že (srov. Ehresmannova konexe#Vektorové svazky a kovariantní derivace) stačí, aby horizontální rozdělení splňovalo
H λ X = d ( S λ ) X H X {\displaystyle H_{\lambda X}=d(S_{\lambda })_{X}H_{X}\,}
pro každé X ∈ TM \ {0} a λ > 0. Zde d(Sλ) je pushforward podél skalární homotéky S λ : X ↦ λ X . {\displayystyle S_{\lambda }:X\mapsto \lambda X.}
Zvláštním případem takto vzniklé nelineární vazby je vazba spojená s Finslerovým mnohoúhelníkem.
Afinní a projektivní geodézieUpravit
Rovnice (1) je invariantní při afinních reparametrizacích; to znamená při parametrizaci tvaru
t ↦ a t + b {\displaystyle t\mapsto at+b}.
kde a a b jsou konstantní reálná čísla. Geodetická rovnice tedy kromě toho, že určuje určitou třídu vložených křivek, určuje také preferovanou třídu parametrizací na každé z křivek. V souladu s tím se řešení (1) nazývají geodézie s afinním parametrem.
Afinní spojení je určeno rodinou afinně parametrizovaných geodézií až na torzi (Spivak 1999, kapitola 6, dodatek I). Samotná torze ve skutečnosti rodinu geodetik neovlivňuje, protože geodetická rovnice závisí pouze na symetrické části spoje. Přesněji řečeno, pokud ∇ , ∇ ž {\displayyle \nabla ,{\bar {\nabla }}}.
jsou dvě spojení taková, že diferenční tenzor D ( X , Y ) = ∇ X Y – ∇ ¯ X Y {\displaystyle D(X,Y)=\nabla _{X}Y-{\bar {\nabla }}_{X}Y}.
