Ihr Strukturvorschlag ist falsch. Stickstoff überschreitet in keiner seiner bekannten Verbindungen das Oktett (und selbst wenn $\ce{NF5}$ entdeckt werden sollte, wird es nach allem, was wir jetzt wissen, das Oktett nicht überschreiten). Wenn man jedoch eine formale negative Ladung hat, bedeutet das ein zusätzliches Elektron zu den 5, die Stickstoff normalerweise hat; wenn vier dieser sechs Elektronen zum Aufbau der Doppelbindungen verwendet werden, gibt es immer noch ein einsames Paar am Stickstoff für insgesamt 10 Elektronen.
Wenn Sie Schwierigkeiten haben, Lewis-Strukturen zu bestimmen, gibt es vier schnelle Berechnungen, die Sie durchführen können, um Ihnen zu helfen:
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Addieren Sie alle Valenzelektronen, die die Atome in die Verbindung bringen.
Jedes Stickstoffatom hat fünf Elektronen plus eine negative Ladung (zusätzliches Elektron), also:$$3\mal5+1=16\tag{1}$$
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Zählen Sie auf, wie viele Valenzelektronen benötigt würden, damit jedes Atom ein eigenes Oktett (bei Wasserstoff: Dublett) hat.
Jedes Stickstoffatom würde also acht Elektronen benötigen:$$3\mal8=24\tag{2}$$
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Nimm $(2)-(1)$. Dies stellt die Anzahl der Elektronen dar, die sich die Atome teilen müssen, d.h. die Anzahl der Bindungen.
$$24-16=8\tag{3}$$
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Nimm $(1)-(3)$. Das ist die Anzahl der Elektronen, die nicht an Bindungen teilnehmen müssen; diese müssen dann als einsame Paare verteilt werden.
$$16-8=8\tag{4}$$
Dann fang an zu zeichnen, aber achte darauf, dass du so viele einsame Paare und Bindungselektronen hast, wie in den Gleichungen angegeben. Lässt man die einsamen Paare außer Acht, so ergeben sich folgende mögliche Strukturen für $\ce{N3-}$:
$$\ce{N#N-N}\qquad\qquad\ce{N=N=N}\qquad\qquad\ce{N-N#N}$$
(Die Aufgabe, vier Einzelgängerpaare auf die drei Stickstoffatome zu verteilen, so dass jedes letztendlich acht Valenzelektronen hat, überlasse ich dem Leser, weil ich zu faul bin, ChemDraw zu öffnen, um die Strukturen zu zeichnen.)
Nachdem du das getan hast, musst du einen Blick auf die potentiellen formalen Ladungen werfen. Dazu teilst du jede Bindung gleichmäßig auf (d.h. gibst jedem Atom eines der Bindungselektronen) und zählst. Vergleichen Sie diese Zahl mit der, die ein Atom haben sollte; die Differenz entspricht der formalen Ladung des Atoms. (Da Elektronen negativ sind, entspricht ein zusätzliches Elektron einer Ladung von $-1$.) Für diese drei Strukturen ergibt sich folgendes Ergebnis:
$$\ce{N#\overset{+}{N}-\overset{2-}{N}}\qquad\qquad\ce{\overset{-}{N}=\overset{+}{N}=\overset{-}{N}}\qquad\qquad\ce{\overset{2-}{N}-\overset{+}{N}#N}$$
In each of those cases, summieren sich die formalen Ladungen zu der Gesamtladung des Molekülions ($-1$), was ein Hinweis darauf ist, dass wir es richtig gemacht haben. (Auch hier habe ich schamhaft die einsamen Paare weggelassen; Sie können meine formalen Ladungen verwenden, um zu bestimmen, wo sie hätten sein sollen und wie viele.)
Es gibt kein Prinzip der formalen Ladungen von Null. Wenn man jedoch zwischen verschiedenen Strukturen diskutiert, ist eine Struktur mit weniger formalen Ladungen oft (nicht immer!) „günstiger“. (Der eigentliche Begriff sollte lauten: „trägt mehr zum Gesamtbild bei“, aber das könnte in diesem Stadium zu sehr verwirren.)
Aber welche der drei ist richtig? Sie sind es alle! Das nennt man Mesomerie: Es gibt eine Reihe von (Resonanz-)Strukturen, die alle ein wenig die eigentliche Verbindung erklären, aber keine davon enthält die absolute Wahrheit. Um dies zu zeigen, werden in der Regel Resonanzpfeile zwischen den Darstellungen gezeichnet:
$$$\ce{N#\overset{+}{N}-\overset{2-}{N} <-> \overset{-}{N}=\overset{+}{N}=\overset{-}{N} <-> \overset{2-}{N}-\overset{+}{N}#N}$$
Der entscheidende Unterschied zwischen den korrekten Strukturen und deinem Vorschlag ist, dass das zentrale Stickstoffatom niemals eine negative formale Ladung tragen kann, da es vier Bindungen zu seinen Nachbarn aufnehmen muss, was nur für $\ce{N+}$ möglich ist.
Was die Antwort in der Hausaufgabe betrifft: Sie ist nicht ganz richtig, weil sie unvollständig ist. Alle drei Strukturen sollten als richtig markiert werden – bis das Konzept der Resonanz formell eingeführt wurde, und dann sollte nur eine Kombination der drei Strukturen richtig sein.