A sua estrutura proposta está errada. O nitrogénio não excede o octeto em nenhum dos seus compostos conhecidos (e mesmo se for descoberto $\ce{NF5}$ não excederá o octeto de acordo com tudo o que sabemos agora). No entanto, se você tem uma carga negativa formal que significa um elétron adicional adicionado aos 5 nitrogênio normalmente tem; se quatro desses seis elétrons são usados para construir as ligações duplas, ainda há um par único sobre nitrogênio para um total de 10 elétrons.
Se você está tendo problemas para determinar as estruturas de Lewis, há quatro cálculos rápidos que você pode executar para ajudá-lo:
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Adicionar todos os elétrons de valência que os átomos estão trazendo para o composto.
Cada azoto tem cinco electrões mais uma carga negativa (electrão adicional) portanto:$$3\ vezes5+1=16\tag{1}$$
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Adicionar quantos electrões de valência seriam necessários para que cada átomo tenha um octeto (para hidrogénio: dublet) próprio.
Cada nitrogénio quereria oito electrões então:$$3\ vezes8=24\tag{2}$$
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Tirar $(2)-(1)$. Isto representa o número de electrões que os átomos devem partilhar, ou seja, o número de ligações.
$$24-16=8\tag{3}$$
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Take $(1)-(3)$. Isto representa o número de electrões que não têm de participar nas ligações; estes têm de ser distribuídos como pares solitários.
$$16-8=8\tag{4}$$
Então, comece a desenhar mas certifique-se de que tem tantos pares solitários e electrões de ligação como as equações indicam. Ignorando os pares solitários, podemos obter as seguintes estruturas possíveis por $\ce{N3-}$:
$$$$2449>(O exercício de distribuir quatro pares solitários pelos três nitrogénicos para que cada um tenha oito electrões de valência é deixado ao leitor porque eu sou demasiado preguiçoso para abrir o ChemDraw para desenhar as estruturas.)
Depois de ter feito isso, você precisa dar uma olhada em potenciais cargas formais. Para isso, divida cada ligação de forma homogênea (ou seja, dê a cada átomo um dos elétrons de ligação) e conte. Compare essa contagem com o que um átomo deve ter; a diferença corresponde à carga formal do átomo. (Porque os electrões são negativos, um electrão adicional corresponde a uma carga de $-1$). Quando se faz para essas três estruturas, chegamos a:
$$\ce{N#\overset{+}{N}-\overset{2-}{N}}\qquad\qquad\ce{\overset{-}{N}=\overset{+}{N}=\overset{-}{N}}\qquad\qquad\ce{\overset{2-}{N}-\overset{+}{N}#N}$$
In each of those cases, as cargas formais somam-se à carga total do íon molecular ($-1$), o que é uma indicação de que o fizemos corretamente. (Novamente, eu deixei os pares solitários de fora; você pode usar minhas cargas formais para determinar onde eles deveriam estar e quantos.)
Não há princípio de zero cargas formais. No entanto, ao debater entre diferentes estruturas, uma estrutura com menos encargos formais é muitas vezes (nem sempre!) mais ‘favorável’. (O termo real deve ser ‘contribui mais para o quadro geral’, mas isso pode confundir demais nesta fase.)
Mas qual dos três está correto? Todos eles estão! Na verdade, isto é o que é conhecido como mesomeria: temos uma série de estruturas (de ressonância) que todas explicam um pouco o composto real, mas nenhuma delas contém a verdade absoluta. Para mostrar isso, setas de ressonância são normalmente desenhadas entre as representações:
$$$$\ce{N##\overet{+}{N}-overet{2-}{N} <-> \overset{-}{N}=\overset{+}{N}=\overset{-}{N} <-> {2-}{N}-overet{+}{N}#N}$$$
A diferença chave entre as estruturas correctas e a sua proposta é que o átomo central de nitrogénio nunca pode carregar uma carga formal negativa, uma vez que precisa de acomodar quatro ligações aos seus vizinhos, o que só é possível por $\ce{N+}$.
As para a resposta dada na resposta ao trabalho de casa: Não é estritamente correcta porque está incompleta. Todas as três estruturas devem ser marcadas como corretas – até que o conceito de ressonância tenha sido formalmente introduzido, momento em que apenas uma combinação das três deve ser.