Een geodeet op een gladde manifold M met een affiene verbinding ∇ is gedefinieerd als een kromme γ(t) zodanig dat bij parallel transport langs de kromme de raakvector aan de kromme behouden blijft, dus
|
∇ γ ˙ γ ˙ = 0 {\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0}
 |
|
(1) |
in elk punt langs de kromme, waarbij γ ˙ {\displaystyle {\dot {\gamma}}
de afgeleide is ten opzichte van t {\displaystyle t}
. Om precies te zijn, om de covariante afgeleide van γ ˙ {\displaystyle {\dot {gamma}} te definiëren}
is het nodig om eerst γ ˙ {\displaystyle {\dot {\gamma }}
tot een continu differentieerbaar vectorveld in een open verzameling. De resulterende waarde van (1) is echter onafhankelijk van de keuze van de extensie.
Gebruik makend van lokale coördinaten op M, kunnen we de geodetische vergelijking (gebruikmakend van de sommatieconventie) schrijven als
d 2 γ λ d t 2 + Γ μ ν λ d γ μ d t d γ ν d t = 0 , {\displaystyle {{\frac {d^{2}gamma ^{\lambda }}{dt^{2}}}+{\gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {d\gamma ^{\mu }}{dt}}{\frac {d\gamma ^{\nu }}{dt}}=0 ,
zijn de coördinaten van de kromme γ(t) en Γ μ ν λ {\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}
zijn de Christoffel-symbolen van de verbinding ∇. Dit is een gewone differentiaalvergelijking voor de coördinaten. Zij heeft een unieke oplossing, gegeven een beginpositie en een beginsnelheid. Daarom kunnen geodeten, vanuit het standpunt van de klassieke mechanica, beschouwd worden als banen van vrije deeltjes in een manifold. De vergelijking ∇ γ ˙ γ ˙ = 0 {{\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{=0}
betekent dat de versnellingsvector van de kromme geen componenten in de richting van het oppervlak heeft (en dus loodrecht staat op het raakvlak van het oppervlak in elk punt van de kromme). De beweging wordt dus volledig bepaald door de buiging van het oppervlak. Dit is ook het idee van de algemene relativiteit waar deeltjes bewegen op geodeten en de buiging wordt veroorzaakt door de zwaartekracht.
Bestaan en uniciteitEdit
De lokale bestaans- en uniciteitstheorie voor geodeten stelt dat geodeten op een gladde manifold met een affiene verbinding bestaan, en uniek zijn. Preciezer:
Voor elk punt p in M en voor elke vector V in TpM (de raaklijnruimte aan M bij p) bestaat er een unieke geodeet γ {5221>
en γ ˙ ( 0 ) = V , {\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=V,}
waarbij I een maximaal open interval in R is dat 0 bevat.
Het bewijs van deze stelling volgt uit de theorie van de gewone differentiaalvergelijkingen, door op te merken dat de geodeetvergelijking een tweede-orde ODE is. Bestaan en uniciteit volgen dan uit de stelling van Picard-Lindelöf voor de oplossingen van ODE’s met voorgeschreven beginvoorwaarden. γ hangt soepel af van zowel p als V.
In het algemeen is het mogelijk dat I niet geheel R is, zoals bijvoorbeeld voor een open schijf in R2. Elke γ strekt zich uit tot geheel ℝ als en slechts als M geodetisch volledig is.
Geodetische stromingEdit
Geodetische stroming is een lokale R-actie op de raaklijnenbundel TM van een manifold M die als volgt gedefinieerd is
G t ( V ) = γ ˙ V ( t ) {Displaystyle G^{t}(V)={\dot {\gamma }}_{V}(t)}
waar t ∈ R, V ∈ TM en γ V {\displaystyle \gamma _{V}}
staat voor de geodeet met begingegevens γ ˙ V ( 0 ) = V {\displaystyle {\dot {\gamma }}_{V}(0)=V}
. Dus, G t {\displaystyle G^{t}}
(V) = exp(tV) is de exponentiële kaart van de vector tV. Een gesloten baan van de geodetische stroom komt overeen met een gesloten geodeet op M.
Op een (pseudo-)Riemannse manifold wordt de geodetische stroom vereenzelvigd met een Hamiltoniaanse stroom op de cotangensbundel. De Hamiltoniaan wordt dan gegeven door de inverse van de (pseudo-)Riemannse metriek, geëvalueerd tegen de canonieke één-vorm. In het bijzonder behoudt de stroom de (pseudo-)Riemannse metriek g {\displaystyle g}
, d.w.z. g ( G t ( V ) , G t ( V ) ) = g ( V , V ) . {
In het bijzonder, wanneer V een eenheidsvector is, is γ V {\displaystyle \gamma _{V}}
steeds een eenheidssnelheid, zodat de geodetische stroom raakt aan de eenheids-tangensbundel. De stelling van Liouville impliceert invariantie van een kinematische maat op de eenheids-tangensbundel.
Geodetische stromingEdit
De geodetische stroming definieert een familie van krommen in de raaklijnbundel. De afgeleiden van deze krommen definiëren een vectorveld op de totale ruimte van de raakbundel, bekend als de geodetische nevel.
Meer precies, een affiene verbinding geeft aanleiding tot een splitsing van de dubbele raakbundel TTM in horizontale en verticale bundels:
T T M = H ⊕ V . {TTM=H ⊕ V.}
De geodetische nevel is het unieke horizontale vectorveld W dat
π ∗ W v = v {{displaystyle \pi _{*}W_{v}=v\,}
in elk punt v ∈ TM; hier π∗ : TTM → TM de doorschuiving (differentiaal) langs de projectie π : TM → M die met de raaklijnenbundel samenhangt.
Meer algemeen kan men met dezelfde constructie een vectorveld construeren voor elke Ehresmann-verbinding op de raakbundel. Opdat het resulterende vectorveld een verstuiving zou zijn (op de verwijderde raakbundel TM \ {0}) is het voldoende dat de verbinding equivariant is onder positieve herschalingen: zij behoeft niet lineair te zijn. Dat wil zeggen, (cf. Ehresmann-verbinding#Vectorbundels en covariante afgeleiden) het is voldoende dat de horizontale verdeling voldoet
H λ X = d ( S λ ) X H X {displaystyle H_{\lambda X}=d(S_{\lambda })_{X}H_{X},}
voor elke X ∈ TM \ {0} en λ > 0. Hierin is d(Sλ) de pushforward langs de scalaire homothetie S λ : X ↦ λ X. {{\a6}:X{\a6}:X{\a6}:X{\a6}:X{\a6}:λ}}.
Een bijzonder geval van een niet-lineaire verbinding die op deze manier ontstaat, is die welke hoort bij een Finsler-manifold.
Affiene en projectieve geodetenEdit
Vraag (1) is invariant onder affiene herparameterisaties; dat wil zeggen parameterisaties van de vorm
t ↦ a t + b {Displaystyle t}
waarbij a en b constante reële getallen zijn. De geodetische vergelijking specificeert dus niet alleen een bepaalde klasse van ingebedde krommen, maar bepaalt ook een voorkeursklasse van parametriseringen op elk van de krommen. Bijgevolg worden oplossingen van (1) geodeten met affiene parameter genoemd.
Een affiene verbinding wordt bepaald door haar familie van geodeten met affiene parameters, tot en met torsie (Spivak 1999, Hoofdstuk 6, Addendum I). De torsie zelf heeft in feite geen invloed op de familie van geodeten, aangezien de geodetenvergelijking enkel afhangt van het symmetrische deel van de verbinding. Preciezer gezegd, als ∇ , ∇ ¯ {{\nabla}}
twee verbindingen zijn zodat de verschiltensor D ( X , Y ) = ∇ X Y – ∇ ¯ X Y {displaystyle D(X,Y)= ∇ _{X}Y-{\bar {\nabla }}_{X}Y}
