Klassinen faasiavaruusEdit
Klassisen F vapausasteen systeemin kuvaus voidaan esittää 2F-ulotteisen faasiavaruuden avulla, jonka koordinaattiakselit muodostuvat systeemin F yleistetyistä koordinaateista qi ja sen F yleistetyistä momentista pi. Tällaisen järjestelmän mikrotila määritetään vaiheavaruuden yhdellä pisteellä. Mutta systeemille, jolla on valtava määrä vapausasteita, sen tarkka mikrotila ei yleensä ole tärkeä. Vaiheavaruus voidaan siis jakaa soluihin, joiden koko on h0=ΔqiΔpi ja joita kutakin käsitellään mikrotilana. Nyt mikrotilat ovat diskreettejä ja laskettavissa, eikä sisäisellä energialla U ole enää tarkkaa arvoa vaan se on U:n ja U+δU:n välillä, jolloin δ U ≪ U {\textstyle \delta U\ll U}
.
Niiden mikrotilojen Ω lukumäärä, jotka suljettu systeemi voi vallata, on verrannollinen sen faasiavaruuden tilavuuteen:
jossa 1 δ U ( H ( x ) – U ) {\textstyle \mathbf {1} _{\delta U}(H(x)-U)}
on indikaattorifunktio. Se on 1, jos Hamiltonin funktio H(x) pisteessä x = (q,p) faasiavaruudessa on U:n ja U+ δU:n välissä ja 0, jos ei. Vakio 1 h 0 F {\textstyle {\frac {1}{h_{0}^{\mathcal {F}}}}}
tekee Ω(U):sta dimensiottoman. Ideaalikaasulle on Ω ( U ) ∝ F U F 2 – 1 δ U {\displaystyle \Omega (U)\propto {\mathcal {F}}U^{{\frac {\mathcal {F}}{2}}-1}\delta U}
.
Tässä kuvauksessa hiukkaset ovat erotettavissa toisistaan. Jos kahden hiukkasen sijainti ja impulssi vaihdetaan, uutta tilaa edustaa eri piste faasiavaruudessa. Tällöin yksi piste edustaa mikrotilaa. Jos osajoukko M hiukkasta on toisistaan erottamattomia, niin näiden hiukkasten M! mahdollista permutaatiota tai mahdollista vaihtoa pidetään osana yhtä mikrotilaa. Mahdollisten mikrotilojen joukko heijastuu myös termodynaamiseen järjestelmään kohdistuviin rajoituksiin.
Esimerkiksi yksinkertaisessa kaasussa, jossa on N hiukkasta, joiden kokonaisenergia U on tilavuudeltaan V:n kuutiossa, ja jossa kaasunäytettä ei voida kokeellisesti erottaa mistään muusta näytteestä, mikrotila koostuu edellä mainituista N! pisteistä faasiavaruudessa, ja mikrotilojen joukko on rajoitettu siten, että kaikkien sijaintikoordinaattien on sijaittava laatikon sisällä ja momenttien on sijaittava hypersfäärisellä pinnalla impulssikoordinaateissa, joiden säde on U. Jos taas systeemi koostuu kahden eri kaasun seoksesta, joiden näytteet voidaan erottaa toisistaan, vaikkapa A:n ja B:n näytteet, mikrotilojen määrä kasvaa, koska kaksi pistettä, joissa A:n ja B:n hiukkaset vaihtuvat faasiavaruudessa, eivät enää ole osa samaa mikrotilaa. Kaksi samanlaista hiukkasta voi kuitenkin olla erotettavissa toisistaan esimerkiksi niiden sijainnin perusteella. (Ks. konfiguraatioentropia.) Jos laatikossa on identtisiä hiukkasia ja se on tasapainossa ja siihen lisätään väliseinä, joka jakaa tilavuuden kahtia, toisessa laatikossa olevat hiukkaset ovat nyt erotettavissa toisessa laatikossa olevista hiukkasista. Faasiavaruudessa kummassakin laatikossa olevat N/2 hiukkasta rajoittuvat nyt tilavuuteen V/2 ja niiden energia rajoittuu U/2:een, ja yhtä mikrotilaa kuvaavien pisteiden lukumäärä muuttuu: faasiavaruuden kuvaus ei ole sama.
Tällä on vaikutuksia sekä Gibbsin paradoksiin että oikeaan Boltzmannin laskentaan. Boltzmannin laskennan osalta juuri vaiheavaruuden pisteiden moninaisuus vähentää tehokkaasti mikrotilojen lukumäärää ja tekee entropiasta laajan. Gibbin paradoksin kannalta tärkeä tulos on se, että mikrotilojen lukumäärän lisääntyminen (ja siten entropian lisääntyminen), joka johtuu osion lisäämisestä, vastaa täsmälleen mikrotilojen lukumäärän vähenemistä (ja siten entropian vähenemistä), joka johtuu kullekin hiukkaselle käytettävissä olevan tilavuuden pienenemisestä, jolloin entropian nettomuutos on nolla.