Geodeesi sileällä moninaisuudella M, jolla on affiininen yhteys ∇, määritellään käyräksi γ(t) siten, että yhdensuuntainen kuljetus käyrää pitkin säilyttää käyrän tangenttivektorin, joten
|
∇ γ ˙ γ ˙ = 0 {\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma}{\dot {\gamma}=0}
 |
|
(1) |
käyrän jokaisessa pisteessä, missä γ ˙ {\displaystyle {\dot {\gamma}}
on derivaatta t suhteen {\displaystyle t}
. Tarkemmin sanottuna, jotta voidaan määritellä γ ˙ ˙ {\displaystyle {\dot {\gamma }} }
on ensin laajennettava γ ˙ {\displaystyle {\dot {\gamma }}}
jatkuvasti differentioituvaksi vektorikentäksi avoimessa joukossa. Tuloksena saatava (1):n arvo on kuitenkin riippumaton laajennuksen valinnasta.
Käyttäen M:n paikallisia koordinaatteja voimme kirjoittaa geodeettisen yhtälön (käyttäen summauskonventiota) seuraavasti
d 2 γ λ d t 2 + Γ μ ν λ d γ μ d t d γ ν d t = 0 , {\displaystyle {\frac {d^{2}\gamma ^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {d\gamma ^{\mu }}{dt}}{\frac {d\gamma ^{\nu }}{dt}}=0\ ,}
jossa γ μ = x μ ∘ γ ( t ) {\displaystyle \gamma ^{\mu }=x^{\mu }\circ \gamma (t)}\circ \gamma (t)}
ovat käyrän γ(t) koordinaatit ja Γ μ ν λ {\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}}
ovat yhteyden ∇ Christoffel-symbolit. Tämä on tavallinen koordinaatiston differentiaaliyhtälö. Sillä on yksikäsitteinen ratkaisu, kun annetaan alkuasento ja alkunopeus. Näin ollen klassisen mekaniikan näkökulmasta geodeettiset radat voidaan ajatella vapaiden hiukkasten liikeratoina moninaisuudessa. Yhtälö ∇ γ ˙ γ ˙ = 0 {\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0}
tarkoittaa, että käyrän kiihtyvyysvektorilla ei ole komponentteja pinnan suunnassa (ja siksi se on kohtisuorassa pinnan tangenttitasoon nähden jokaisessa käyrän pisteessä). Liike määräytyy siis täysin pinnan taipumisen mukaan. Tämä on myös yleisen suhteellisuusteorian ajatus, jossa hiukkaset liikkuvat geodeettisilla radoilla ja taivutus johtuu painovoimasta.
Olemassaolo ja ainutkertaisuusMuutos
Geodeesien paikallinen olemassaolo- ja ainutkertaisuusteoreema väittää, että geodeesit sileällä moninaisuudella, jolla on affiininen yhteys, ovat olemassa ja ainutkertaisia. Tarkemmin sanottuna:
Mille tahansa pisteelle p M:ssä ja mille tahansa vektorille V TpM:ssä (M:n tangenttiavaruus pisteessä p) on olemassa ainutkertainen geodeettinen γ {\displaystyle \gamma \,}
: I → M siten, että γ ( 0 ) = p {\displaystyle \gamma (0)=p\,}
ja γ ˙ ( 0 ) = V , {\displaystyle \dot {\dot {\gamma }(0)=V,}
missä I on maksimaalinen avoin väli R:ssä, joka sisältää 0.
Tämän lauseen todistus seuraa tavallisten differentiaaliyhtälöiden teoriasta huomaamalla, että geodeettinen yhtälö on toisen asteen ODE. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys seuraavat tällöin Picard-Lindelöfin lauseesta ODE:iden ratkaisuille, joilla on määrätyt alkuehdot. γ riippuu tasaisesti sekä p:stä että V:stä.
Yleisesti I ei välttämättä ole koko R, kuten esimerkiksi R2:n avoimen kiekon tapauksessa. Mikä tahansa γ ulottuu koko ℝ:n alueelle, jos ja vain jos M on geodeettisesti täydellinen.
Geodeettinen virtausEdit
Geodeettinen virtaus on moninaisuuden M tangenttikimppuun TM kohdistuva paikallinen R-vaikutus, joka määritellään seuraavasti
G t ( V ) = γ ˙ V ( t ) {\displaystyle G^{t}(V)={\dot {\gamma }}_{V}(t)}
missä t ∈ R, V ∈ TM ja γ V {\displaystyle \gamma _{V}}
tarkoittaa geodesiaa, jonka alkutiedot γ ˙ V ( 0 ) = V {\displaystyle {\dot {\gamma }}_{V}(0)=V}}
. Näin ollen G t {\displaystyle G^{t}}
(V) = exp(tV) on vektorin tV eksponentiaalinen kartta. Geodeettisen virran suljettu rata vastaa suljettua geodeettista rataa M:ssä.
(Pseudo-)Riemannin moninaisuudella geodeettinen virtaus samaistetaan Hamiltonin virtaan kolotangenttikimpussa. Hamiltonilainen annetaan tällöin (pseudo-)riemannin metriikan käänteisluvulla, joka arvioidaan kanonisen yhden muodon suhteen. Erityisesti virtaus säilyttää (pseudo)riemannin metriikan g {\displaystyle g}
eli g ( G t ( V ) , G t ( V ) ) = g ( V , V ) . {\displaystyle g(G^{t}(V),G^{t}(V))=g(V,V).\,}
Etenkin kun V on yksikkövektori, γ V {\displaystyle \gamma _{V}}
pysyy koko ajan yksikkönopeutena, joten geodeettinen virtaus on tangenttinen yksikkötangentin nippuun. Liouvillen teoreema implikoi kinemaattisen toimenpiteen invarianssin yksikkötangenttikimpussa.
Geodeettinen suihkuEdit
Geodeettinen virtaus määrittelee tangenttikimpussa olevan käyräperheen. Näiden käyrien derivaatat määrittelevät vektorikentän tangenttinipun kokonaisavaruuteen, jota kutsutaan geodeettiseksi suihkuksi.
Tarkemmin sanottuna affiininen yhteys synnyttää kaksinkertaisen tangenttinipun TTM jakamisen vaaka- ja pystynipuiksi:
T T M = H ⊕ V . {\displaystyle TTM = H\oplus V.}
Geodeettinen suihku on ainutkertainen vaakasuora vektorikenttä W, joka tyydyttää
π ∗ W v = v {\displaystyle \pi _{*}W_{v}=v\,}
jokaisessa pisteessä v ∈ TM; tässä π∗ : TTM → TM tarkoittaa tangenttikimppuun liittyvää projektiota π : TM → M pitkin tapahtuvaa työntöä (differentiaalia).
Yleisemmin saman konstruktion avulla voidaan rakentaa vektorikenttä mille tahansa Ehresmannin yhteydelle tangenttikimpussa. Jotta tuloksena saatava vektorikenttä olisi suihku (poistetulla tangenttinipulla TM \ {0}), riittää, että yhteys on ekvivariantti positiivisten reskalointien alla: sen ei tarvitse olla lineaarinen. Toisin sanoen (vrt. Ehresmannin yhteys#Vektoriniput ja kovariantit derivaatat) riittää, että horisontaalinen jakauma tyydyttää
H λ X = d ( S λ ) X H X {\displaystyle H_{\lambda X}=d(S_{\lambda })_{X}H_{X}\,}
jokaista X ∈ TM \ {0} ja λ > 0. Tässä d(Sλ) on työntövoima skalaarihomoteettia S λ pitkin : X ↦ λ X . {\displaystyle S_{\lambda }:X\mapsto \lambda X.}
Erikoistapaus tällä tavalla syntyvästä epälineaarisesta yhteydestä on Finslerin moninaisuuteen liittyvä yhteys.
Affiiniset ja projektiiviset geodeesit Muokkaa
Yhtälö (1) on invariantti affiinisille uudelleenparametrisoinneille; toisin sanoen parametrisoinnit, jotka ovat muotoa
t ↦ a t + b {\displaystyle t\mapsto at+b}
jossa a ja b ovat vakioita reaalilukuja. Sen lisäksi, että geodeettinen yhtälö siis määrittää tietyn luokan upotettuja käyriä, se määrittää myös kunkin käyrän parametrisointien ensisijaisen luokan. Vastaavasti (1):n ratkaisuja kutsutaan geodeeseiksi, joilla on affiininen parametri.
Affiininen yhteys määräytyy sen affiinisesti parametrisoitujen geodeesien perheen mukaan, vääntöä lukuun ottamatta (Spivak 1999, luku 6, lisäys I). Itse vääntö ei itse asiassa vaikuta geodeesiperheeseen, koska geodeesiyhtälö riippuu vain yhteyden symmetrisestä osasta. Tarkemmin sanottuna, jos ∇ , ∇ ¯\displaystyle \nabla ,{\bar {\nabla}}
ovat kaksi sellaista yhteyttä, että erotustensori D ( X , Y ) = ∇ X Y – ∇ ¯ X Y {\displaystyle D(X,Y)=\nabla _{X}Y-{\bar {\nabla }}_{X}Y}}
