Kinemaattinen approksimaatio muuttuu virheelliseksi, kun magneettikentästä tulee riittävän voimakas vaikuttaakseen nesteen liikkeisiin. Tällöin nopeuskenttään alkaa vaikuttaa Lorentzin voima, joten induktioyhtälö ei ole enää lineaarinen magneettikentässä. Useimmissa tapauksissa tämä johtaa dynamon amplitudin sammumiseen. Tällaisia dynaamoja kutsutaan joskus myös hydromagneettisiksi dynaamoiksi.Käytännössä kaikki astro- ja geofysiikan dynaamot ovat hydromagneettisia dynaamoja.
Teorian pääidea on, että mikä tahansa pieni magneettikenttä, joka on olemassa ulommassa ytimessä, synnyttää siellä liikkuvassa nesteessä Lorenzin voiman vaikutuksesta virtauksia. Nämä virrat luovat lisää magneettikenttää Ampereen lain takia. Nesteen liikkeen myötä virrat kulkeutuvat siten, että magneettikenttä vahvistuu (niin kauan kuin u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
on negatiivinen). Siten ”siemen” magneettikenttä voi vahvistua ja vahvistua, kunnes se saavuttaa jonkin arvon, joka on suhteessa olemassa oleviin ei-magneettisiin voimiin.
Numeerisia malleja käytetään täysin epälineaaristen dynamiikkojen simulointiin. Seuraavia yhtälöitä käytetään:
- Yllä esitetty induktioyhtälö.
- Maxwellin yhtälöt mitättömälle sähkökentälle:
∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}
∇ × B = μ 0 J {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }
- Massan säilymisen jatkuvuusyhtälö, johon käytetään usein Boussinesqin approksimaatiota:
∇ ⋅ u = 0 , {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0,}
- Navier-Stokesin yhtälö impulssin säilymiselle, jälleen samassa approksimaatiossa, ulkoisina voimina magneettivoima ja painovoima:
D u D t = – 1 ρ 0 ∇ p + ν ∇ 2 u + ρ ′ g + 2 Ω × u + Ω × Ω × R + 1 ρ 0 J × B , {\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=-{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\rho ’\mathbf {g} +2\mathbf {\Omega} {\Omega} \times \mathbf {u} + \mathbf {\Omega } \times \mathbf {\Omega } \times \mathbf {R} +{\frac {1}{\rho _{0}}}\mathbf {J} \times \mathbf {B} ,}
missä ν {\displaystyle \nu }
on kinemaattinen viskositeetti, ρ 0 {\displaystyle \rho _{0}}
on keskimääräinen tiheys ja ρ ′ {\displaystyle \rho ’}
on suhteellinen tiheyshäiriö, joka tuottaa kelluvuuden (lämpökonvektiossa ρ ′ = α Δ T {\displaystyle \rho ’=\alpha \Delta T}
missä α {\displaystyle \alpha}
on lämpölaajenemiskerroin), Ω {\displaystyle \Omega}, Ω {\displaystyle \Omega }
on Maan pyörimisnopeus ja J {\displaystyle \mathbf {J} }
on sähkövirran tiheys.
- Kuljetusyhtälö, yleensä lämmön (joskus kevyiden alkuaineiden konsentraation):
∂ T ∂ t = κ ∇ 2 T + ϵ {\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=\kappa \nabla ^{2}T+\epsilon }
missä T on lämpötila, κ = k / ρ c p {\displaystyle \kappa =k/\rho c_{p}}
on lämpödiffuusiokyky, jonka lämmönjohtavuus on k, c p {\displaystyle c_{p}}
lämpökapasiteetti ja ρ {\displaystyle \rho }
tiheys, ja ϵ {\displaystyle \epsilon }
on valinnainen lämmönlähde. Usein paine on dynaaminen paine, josta on poistettu hydrostaattinen paine ja sentripetaalinen potentiaali.
Tällöin nämä yhtälöt ei-ulotteistetaan, jolloin otetaan käyttöön ei-ulotteiset parametrit,
R a = g α T D 3 ν κ , E = ν Ω D 2 , P r = ν κ , P m = ν η {\displaystyle Ra={\frac {g\alpha TD^{3}}{\nu \kappa }},E={\frac {\nu }{\Omega D^{2}}},Pr={\frac {\nu }{\kappa }},Pm={\frac {\nu }{\eta }}}
missä Ra on Rayleighin luku, E Ekmanin luku, Pr ja Pm Prandtlin ja magneettisen Prandtlin luku. Magneettikentän skaalaus on usein Elsasserin lukuyksiköissä B = ( ρ Ω / σ ) 1 / 2 {\displaystyle B=(\rho \Omega /\sigma )^{1/2}}
.
Energian muuntaminen magneettisen ja kinemaattisen energian välilläEdit
Navier-Stokesin yhtälön edellä esitetyn muodon skalaarituotto ρ 0 u {\displaystyle \rho _{0}\mathbf {u} }
antaa liike-energian tiheyden kasvunopeuden, ( 1 / 2 ) ρ 0 u 2 {\displaystyle (1/2)\rho _{0}u^{2}}}
, vasemmalla puolella. Oikean puolen viimeinen termi on tällöin u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
, Lorentzin voiman aiheuttama paikallinen osuus liike-energiasta.
Induktioyhtälön skalaarituotto ( 1 / μ 0 ) B {\displaystyle (1/\mu _{0})\mathbf {B}:n kanssa. }
antaa magneettisen energiatiheyden kasvuvauhdin, ( 1 / 2 μ 0 ) B 2 {\displaystyle (1/2\mu _{0})B^{2}}}
, vasemmalla puolella. Oikean puolen viimeinen termi on tällöin ( 1 / μ 0 ) B ⋅ ( ∇ × ( u × B ) ) ) {\displaystyle (1/\mu _{0})\mathbf {B} \cdot \left(\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )\right)}
. Koska yhtälö on tilavuusintegroitu, tämä termi vastaa rajatermiä myöten (ja skalaarikolmiotuoton identiteetin kaksinkertaisella käytöllä) – u ⋅ ( ( ( 1 / μ 0 ) ( ∇ × B ) × B ) ) ) = – u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle -\mathbf {u} \cdot \left((1/\mu _{0})(\nabla \times \mathbf {B} )\times \mathbf {B} )\right)=-\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )} }
(jossa käytettiin yhtä Maxwellin yhtälöistä). Tämä on nesteen liikkeestä johtuva paikallinen osuus magneettiseen energiaan.
Siten termi – u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle -\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B } )}
on kineettisen energian muuntumisnopeus magneettiseksi energiaksi. Tämän on oltava ei-negatiivinen ainakin osassa tilavuutta, jotta dynamo voi tuottaa magneettikentän.
Yllä olevasta kaaviosta ei käy ilmi, miksi tämän termin pitäisi olla positiivinen. Yksinkertainen argumentti voi perustua nettovaikutusten tarkasteluun. Jotta magneettikenttä syntyisi, nettosähkövirran on kierrettävä planeetan pyörimisakselin ympäri. Jotta termi olisi positiivinen, johtavan aineen nettovirran on tällöin suuntauduttava kohti pyörimisakselia. Kaaviossa näkyy vain nettovirtaus navoilta päiväntasaajalle. Massan säilyminen edellyttää kuitenkin lisävirtausta päiväntasaajalta kohti napoja. Jos tämä virtaus olisi pyörimisakselin suuntainen, se tarkoittaisi, että kierto täydentyisi virtauksella esitetyistä kohti pyörimisakselia, mikä tuottaisi halutun vaikutuksen.
Maan dynamon synnyttämän magneettikentän suuruusluokkaMuutos
Ylläoleva kaava, joka kuvaa liike-energian muuntumisnopeutta magneettiseksi energiaksi, vastaa voiman tekemän työn nopeutta, joka on suuruusluokassaan J × B. {\displaystyle {\mathbf {J} \times \mathbf {B} }
ulkoiseen ydinaineeseen, jonka nopeus on u {\displaystyle \mathbf {u} }
. Tämä työ on seurausta nesteeseen vaikuttavista ei-magneettisista voimista.
Näistä painovoima ja keskipakovoima ovat konservatiivisia, joten niillä ei ole kokonaisvaikutusta suljetuissa silmukoissa liikkuvaan nesteeseen. Ekmanin luku (määritelty edellä), joka on kahden jäljelle jäävän voiman eli viskositeetin ja Coriolis-voiman suhde, on hyvin pieni Maan ulkoytimen sisällä, koska sen viskositeetti on pieni (1,2-1.5 x10-2 pascal-sekunnissa ) sen likviditeetin vuoksi.
Siten tärkein aikakeskiarvoistettu panos työhön tulee Coriolis-voimasta, jonka suuruus on – 2 ρ Ω × u {\displaystyle -2\rho \,\mathbf {\Omega } \times \mathbf {u} }
, vaikka tämä suure ja J × B {\displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {B} }
liittyvät toisiinsa vain epäsuorasti eivätkä ne yleensä ole paikallisesti yhtä suuria (ne siis vaikuttavat toisiinsa mutta eivät samassa paikassa ja samassa ajassa).
Virrantiheys J on itsessään Ohmin lain mukaisen magneettikentän tulos. Jälleen kerran aineen liikkeen ja virran kulun takia tämä ei välttämättä ole kenttä samassa paikassa ja ajassa. Näiden suhteiden avulla voidaan kuitenkin päätellä suuruusluokkia kyseisille suureille.
Suuruusluokkina J B ∼ ρ Ω u {\displaystyle J\,B\sim \rho \,\Omega \,u}
ja J ∼ σ u B {\displaystyle J\sim \sigma uB}
, jolloin σ u B 2 ∼ ρ Ω u {\displaystyle \sigma \,u\,B^{2}\sim \rho \,\Omega \,u}
, tai: B ∼ ρ Ω Ω σ {\displaystyle B\sim {\sqrt {\frac {\rho \,\Omega }{\sigma }}}}
Tarkka suhde molempien puolien välillä on Elsasserin luvun neliöjuuri.
Huomaa, että magneettikentän suuntaa ei voi päätellä tästä approksimaatiosta (ei ainakaan sen merkkiä), koska se esiintyy neliöllisenä, ja se on itse asiassa toisinaan päinvastainen, vaikkakin yleisesti ottaen se sijaitsee samanlaisella akselilla kuin Ω {\displaystyle {\mathbf {\Omega } }
.
Maailman ulkosydämelle ρ on noin 104 kg/m3, Ω=2π/vrk = 7,3×10-5 sekuntia ja σ on noin 107Ω-1m-1. Tästä saadaan 2,7×10-4 Teslaa.
Magneettisen dipolin magneettikentällä on käänteinen kuutiollinen riippuvuus etäisyydestä, joten sen suuruusluokka maan pinnalla voidaan approksimoida kertomalla yllä oleva tulos luvulla (Router core/REarth)3 = (2890/6370)3 = 0,093, jolloin saadaan 2,5×10-5 Teslaa, joka ei ole kaukana päiväntasaajalla mitatusta arvosta, joka on 3×10-5 Tesla.