La aproximación cinemática deja de ser válida cuando el campo magnético se hace lo suficientemente fuerte como para afectar a los movimientos del fluido. En ese caso, el campo de velocidad se ve afectado por la fuerza de Lorentz, por lo que la ecuación de inducción deja de ser lineal en el campo magnético. En la mayoría de los casos, esto conduce a un apagamiento de la amplitud de la dinamo. Prácticamente todas las dinamos de la astrofísica y la geofísica son dinamos hidromagnéticas.
La idea principal de la teoría es que cualquier pequeño campo magnético existente en el núcleo exterior crea corrientes en el fluido en movimiento debido a la fuerza de Lorenz. Estas corrientes crean más campo magnético debido a la ley de Ampere. Con el movimiento del fluido, las corrientes son transportadas de manera que el campo magnético se hace más fuerte (siempre que u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \N por \Nmathbf {B} )}
es negativo). Así, un campo magnético «semilla» puede hacerse cada vez más fuerte hasta alcanzar algún valor que esté relacionado con las fuerzas no magnéticas existentes.
Los modelos numéricos se utilizan para simular dinamos totalmente no lineales. Se utilizan las siguientes ecuaciones:
- La ecuación de inducción, presentada anteriormente.
- Ecuaciones de Maxwell para campo eléctrico despreciable:
∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}
∇ × B = μ 0 J {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }
- La ecuación de continuidad para la conservación de la masa, para la que se suele utilizar la aproximación de Boussinesq:
∇ ⋅ u = 0 , {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0,}
- La ecuación de Navier-Stokes para la conservación del momento, de nuevo en la misma aproximación, con la fuerza magnética y la fuerza de gravitación como fuerzas externas:
D u D t = – 1 ρ 0 ∇ p + ν ∇ 2 u + ρ ′ g + 2 Ω × u + Ω × Ω × R + 1 ρ 0 J × B , {\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} {{Dt}}=-{frac {1}{rho _{0}}}\nabla p+\nu \nabla ^{2}{mathbf {u} +\rho ‘\mathbf {g} +2\mathbf {\mega } +2mathbf {Omega } \tiempos +mathbf +mathbf +mathbf +mathbf +mathbf +mathbf +mathbf +mathbf \tiempos de R + frac de 1, de 0, de J.
es la viscosidad cinemática, ρ 0 {\displaystyle \rho _{0}}
es la densidad media y ρ ′ {\displaystyle \rho ‘}
es la perturbación de la densidad relativa que proporciona flotabilidad (para la convección térmica ρ ′ = α Δ T {\displaystyle \rho ‘=\alpha \Delta T}
donde α {\displaystyle \alpha }
es el coeficiente de expansión térmica), Ω {\displaystyle \mega }
es la velocidad de rotación de la Tierra, y J {\displaystyle \mathbf {J} }
es la densidad de corriente eléctrica.
- Una ecuación de transporte, normalmente de calor (a veces de concentración de elementos ligeros):
∂ T ∂ t = κ ∇ 2 T + ϵ {\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=\kappa \nabla ^{2}T+\epsilon }
donde T es la temperatura, κ = k / ρ c p {\displaystyle \kappa =k/\rho c_{p}}
es la difusividad térmica con k conductividad térmica, c p {\displaystyle c_{p}}
la capacidad térmica, y ρ {\displaystyle \rho }
densidad, y ϵ {\displaystyle \epsilon }
es una fuente de calor opcional. A menudo la presión es la presión dinámica, con la presión hidrostática y el potencial centrípeto eliminados.
Estas ecuaciones son entonces adimensionalizadas, introduciendo los parámetros adimensionales,
R a = g α T D 3 ν κ , E = ν Ω D 2 , P r = ν κ , P m = ν η {\displaystyle Ra={frac {g\alpha TD^{3}}{nu \kappa }},E={frac {\nu }{Omega D^{2}},Pr={frac {\nu }{kappa }},Pm={frac {\nu }{\eta }}
donde Ra es el número de Rayleigh, E el número de Ekman, Pr y Pm el número de Prandtl y Prandtl magnético. El escalado del campo magnético suele ser en unidades del número de Elsasser B = ( ρ Ω / σ ) 1 / 2 {\displaystyle B=(\rho \Omega /\sigma )^{1/2}
.
Conversión de energía entre energía magnética y cinemáticaEditar
El producto escalar de la forma anterior de la ecuación de Navier-Stokes con ρ 0 u {\displaystyle \rho _{0}\mathbf {u} }
da la tasa de aumento de la densidad de energía cinética, ( 1 / 2 ) ρ 0 u 2 {\displaystyle (1/2)\rho _{0}u^{2}}
, en el lado izquierdo. El último término del lado derecho es entonces u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
, la contribución local a la energía cinética debida a la fuerza de Lorentz.
El producto escalar de la ecuación de inducción con ( 1 / μ 0 ) B {\displaystyle (1/\mu _{0})\mathbf {B} }
da la tasa de aumento de la densidad de energía magnética, ( 1 / 2 μ 0 ) B 2 {\displaystyle (1/2\mu _{0})B^{2}}
, en el lado izquierdo. El último término del lado derecho es entonces ( 1 / μ 0 ) B ⋅ ( ∇ × ( u × B ) ) {\displaystyle (1/\mu _{0})\mathbf {B} \cdot \left(\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )\right)}
. Como la ecuación es integrada en el volumen, este término es equivalente hasta un término de frontera (y con el doble uso de la identidad del triple producto escalar) a – u ⋅ ( 1 / μ 0 ) ( ∇ × B ) × B ) ) = – u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle -\mathbf {u} \cdot \left((1/\mu _{0})(\nabla \times \mathbf {B} )\mathbf {B} )\right)=-\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
(donde se utilizó una de las ecuaciones de Maxwell). Esta es la contribución local a la energía magnética debida al movimiento del fluido.
Así, el término – u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle -\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
es la tasa de transformación de la energía cinética en energía magnética. Esta tiene que ser no negativa al menos en una parte del volumen, para que la dinamo produzca campo magnético.
Desde el diagrama anterior, no está claro por qué este término debe ser positivo. Un argumento sencillo puede basarse en la consideración de los efectos netos. Para crear el campo magnético, la corriente eléctrica neta debe envolver el eje de rotación del planeta. En ese caso, para que el término sea positivo, el flujo neto de materia conductora debe ser hacia el eje de rotación. El diagrama sólo muestra un flujo neto desde los polos hacia el ecuador. Sin embargo, la conservación de la masa requiere un flujo adicional desde el ecuador hacia los polos. Si ese flujo fuera a lo largo del eje de rotación, eso implica que la circulación se completaría con un flujo desde los mostrados hacia el eje de rotación, produciendo el efecto deseado.
Orden de magnitud del campo magnético creado por la dinamo terrestreEditar
La fórmula anterior para la tasa de conversión de energía cinética en energía magnética, es equivalente a una tasa de trabajo realizada por una fuerza de J × B {\displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {B} }
sobre la materia del núcleo exterior, cuya velocidad es u {\displaystyle \mathbf {u} }
. Este trabajo es el resultado de las fuerzas no magnéticas que actúan sobre el fluido.
De ellas, la fuerza gravitatoria y la fuerza centrífuga son conservadoras y, por lo tanto, no tienen ninguna contribución global al fluido que se mueve en bucles cerrados. El número de Ekman (definido anteriormente), que es la relación entre las dos fuerzas restantes, es decir, la viscosidad y la fuerza de Coriolis, es muy bajo dentro del núcleo externo de la Tierra, porque su viscosidad es baja (1,2-1.5 x10-2 pascal-segundo ) debido a su liquidez.
Por lo tanto, la principal contribución promediada en el tiempo al trabajo es de la fuerza de Coriolis, cuyo tamaño es – 2 ρ Ω × u {\displaystyle -2\rho \\mathbf {\mega } \times \mathbf {u} }
, aunque esta cantidad y J × B {\displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {B} }
están relacionadas sólo indirectamente y no son en general iguales localmente (por lo que se afectan mutuamente pero no en el mismo lugar y tiempo).
La densidad de corriente J es a su vez el resultado del campo magnético según la ley de Ohm. De nuevo, debido al movimiento de la materia y al flujo de corriente, éste no es necesariamente el campo en el mismo lugar y tiempo. Sin embargo, estas relaciones todavía se pueden utilizar para deducir los órdenes de magnitud de las cantidades en cuestión.
En términos de orden de magnitud, J B ∼ ρ Ω u {\displaystyle J\,B\sim \rho \mega \ u}
y J ∼ σ u B {\displaystyle J\sim \sigma uB}
, lo que da σ u B 2 ∼ ρ Ω u {\displaystyle \sigma \\\ u,B^{2}\sim \rho \\\mega \ u}
, o bien: B ∼ ρ Ω σ {\displaystyle B\sim {\sqrt {\frac {\rho \,\Omega }{\sigma }}}}
La relación exacta entre ambos lados es la raíz cuadrada del número de Elsasser.
Nótese que la dirección del campo magnético no puede deducirse de esta aproximación (al menos no su signo) ya que aparece al cuadrado, y es, de hecho, a veces invertida, aunque en general se encuentra en un eje similar al de Ω {\displaystyle \mathbf {\mega } }
.
Para el núcleo externo de la tierra, ρ es aproximadamente 104 kg/m3, Ω=2π/día = 7,3×10-5 segundos y σ es aproximadamente 107Ω-1m-1.Esto da 2,7×10-4 Tesla.
El campo magnético de un dipolo magnético tiene una dependencia cúbica inversa en la distancia, por lo que su orden de magnitud en la superficie terrestre se puede aproximar multiplicando el resultado anterior por (Núcleo de la rotura/TERRA)3 = (2890/6370)3 = 0,093, lo que da 2,5×10-5 Tesla, no muy lejos del valor medido de 3×10-5 Tesla en el ecuador.