Espacio de fase clásicoEditar
La descripción de un sistema clásico de F grados de libertad puede plantearse en términos de un espacio de fase de 2F dimensiones, cuyos ejes de coordenadas consisten en las F coordenadas generalizadas qi del sistema, y sus F momentos generalizados pi. El microestado de tal sistema estará especificado por un único punto en el espacio de fase. Pero para un sistema con un gran número de grados de libertad su microestado exacto no suele ser importante. Así que el espacio de fase puede dividirse en celdas del tamaño h0=ΔqiΔpi , cada una tratada como un microestado. Ahora los microestados son discretos y contables y la energía interna U ya no tiene un valor exacto sino que está entre U y U+δU, con δ U ≪ U {\textstyle \delta U\ll U}
.
El número de microestados Ω que puede ocupar un sistema cerrado es proporcional a su volumen de espacio de fase:
donde 1 δ U ( H ( x ) – U ) {\textstyle \mathbf {1} _{{delta U}(H(x)-U)}
es una función indicadora. Es 1 si la función de Hamilton H(x) en el punto x = (q,p) en el espacio de fase está entre U y U+ δU y 0 si no. La constante 1 h 0 F {\textstyle {\frac {1}{h_{0}^{\mathcal {F}}}}}
hace que Ω(U) sea adimensional. Para un gas ideal es Ω ( U ) ∝ F U F 2 – 1 δ U {\displaystyle \mega (U)\propto {\mathcal {F}}U^{\frac {\mathcal {F}{2}}-1}\delta U}
.
En esta descripción, las partículas son distinguibles. Si la posición y el momento de dos partículas se intercambian, el nuevo estado será representado por un punto diferente en el espacio de fase. En este caso un solo punto representará un microestado. Si un subconjunto de M partículas son indistinguibles entre sí, entonces las M! permutaciones o intercambios posibles de estas partículas se contarán como parte de un único microestado. ¡El conjunto de microestados posibles también se refleja en las restricciones del sistema termodinámico.
Por ejemplo, en el caso de un gas simple de N partículas con energía total U contenidas en un cubo de volumen V, en el que una muestra del gas no puede distinguirse de ninguna otra muestra por medios experimentales, un microestado consistirá en los mencionados N! puntos en el espacio de fase, y el conjunto de microestados estará restringido a que todas las coordenadas de posición estén dentro de la caja, y los momentos estén en una superficie hiperesférica en coordenadas de momento de radio U. Si, por el contrario, el sistema consiste en una mezcla de dos gases diferentes, cuyas muestras pueden distinguirse entre sí, digamos A y B, entonces el número de microestados aumenta, ya que dos puntos en los que se intercambian una partícula A y B en el espacio de fase ya no forman parte del mismo microestado. Dos partículas que son idénticas pueden, sin embargo, distinguirse basándose, por ejemplo, en su ubicación. (Véase entropía configuracional.) Si la caja contiene partículas idénticas, y está en equilibrio, y se inserta una partición, dividiendo el volumen por la mitad, las partículas de una caja son ahora distinguibles de las de la segunda caja. En el espacio de fase, las N/2 partículas de cada caja están ahora restringidas a un volumen V/2, y su energía restringida a U/2, y el número de puntos que describen un único microestado cambiará: la descripción del espacio de fase no es la misma.
Esto tiene implicaciones tanto en la paradoja de Gibbs como en el recuento correcto de Boltzmann. Con respecto al recuento de Boltzmann, es la multiplicidad de puntos en el espacio de fase lo que reduce efectivamente el número de microestados y hace que la entropía sea extensa. Con respecto a la paradoja de Gibb, el resultado importante es que el aumento del número de microestados (y, por tanto, el aumento de la entropía) resultante de la inserción de la partición es exactamente igualado por la disminución del número de microestados (y, por tanto, la disminución de la entropía) resultante de la reducción del volumen disponible para cada partícula, lo que produce un cambio neto de entropía de cero.