Un isomorfismo de un grupo (G, ∗) a sí mismo se llama automorfismo de este grupo. Por tanto, es una biyección f : G → G {\displaystyle f:G\rightarrow G}.
tal que f ( u ) ∗ f ( v ) = f ( u ∗ v ) {\displaystyle f(u)*f(v)=f(u*v)}
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Un automorfismo siempre mapea la identidad a sí mismo. La imagen bajo un automorfismo de una clase de conjugación es siempre una clase de conjugación (la misma u otra). La imagen de un elemento tiene el mismo orden que ese elemento.
La composición de dos automorfismos es de nuevo un automorfismo, y con esta operación el conjunto de todos los automorfismos de un grupo G, denotado por Aut(G), forma en sí mismo un grupo, el grupo de automorfismos de G.
Para todos los grupos abelianos existe al menos el automorfismo que sustituye los elementos del grupo por sus inversos. Sin embargo, en los grupos en los que todos los elementos son iguales a su inverso este es el automorfismo trivial, por ejemplo, en el grupo de cuatro de Klein. Para ese grupo todas las permutaciones de los tres elementos no identitarios son automorfismos, por lo que el grupo de automorfismo es isomorfo a S3 y Dih3.
En Zp para un número primo p, un elemento no identitario puede ser sustituido por cualquier otro, con los correspondientes cambios en los otros elementos. El grupo de automorfismo es isomorfo a Zp – 1. Por ejemplo, para n = 7, multiplicar todos los elementos de Z7 por 3, módulo 7, es un automorfismo de orden 6 en el grupo de automorfismos, porque 36 ≡ 1 (módulo 7), mientras que las potencias inferiores no dan 1. Por tanto, este automorfismo genera Z6. Hay un automorfismo más con esta propiedad: multiplicar todos los elementos de Z7 por 5, módulo 7. Por tanto, estos dos corresponden a los elementos 1 y 5 de Z6, en ese orden o a la inversa.
El grupo de automorfismo de Z6 es isomorfo a Z2, porque sólo cada uno de los dos elementos 1 y 5 generan Z6, por lo que aparte de la identidad sólo podemos intercambiar estos.
El grupo de automorfismo de Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 = Dih2 ⊕ Z2 tiene orden 168, como se puede encontrar de la siguiente manera. Los 7 elementos no identitarios juegan el mismo papel, por lo que podemos elegir cuál juega el papel de (1,0,0). Cualquiera de los 6 restantes puede ser elegido para desempeñar el papel de (0,1,0). Esto determina cuál corresponde a (1,1,0). Para (0,0,1) podemos elegir entre 4, lo que determina el resto. Así tenemos 7 × 6 × 4 = 168 automorfismos. Corresponden a los del plano de Fano, de los cuales los 7 puntos corresponden a los 7 elementos no identitarios. Las líneas que unen tres puntos corresponden a la operación de grupo: a, b y c en una línea significa a + b = c, a + c = b y b + c = a. Véase también grupo lineal general sobre campos finitos.
Para los grupos abelianos todos los automorfismos excepto el trivial se llaman automorfismos exteriores.
Los grupos no abelianos tienen un grupo de automorfismos interiores no triviales, y posiblemente también automorfismos exteriores.