Una geodésica en una variedad suave M con una conexión afín ∇ se define como una curva γ(t) tal que el transporte paralelo a lo largo de la curva preserva el vector tangente a la curva, por lo que
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∇ γ ˙ γ ˙ = 0 {\displaystyle \nabla _{dot {\gamma }}{dot {\gamma }}=0}
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en cada punto de la curva, donde γ ˙ {\displaystyle {\dot {\gamma }}
es la derivada con respecto a t {\displaystyle t}
. Más precisamente, para definir la derivada covariante de γ ˙ {\displaystyle {\dot {\gamma }}
es necesario primero extender γ ˙ {\displaystyle {\dot {\gamma }}
a un campo vectorial continuamente diferenciable en un conjunto abierto. Sin embargo, el valor resultante de (1) es independiente de la elección de la extensión.
Usando coordenadas locales en M, podemos escribir la ecuación geodésica (usando la convención de la suma) como
d 2 γ λ d t 2 + Γ μ ν λ d γ μ d t d γ ν d t = 0 , {\displaystyle {\frac {d^{2}\gamma ^{lambda }}{dt^{2}}+Gamma _{mu \nu }^{lambda }{\frac {d\gamma ^{mu }}{dt}{\frac {d\gamma ^{nu }}=0\ ,}
donde γ μ = x μ ∘ γ ( t ) {\displaystyle \gamma ^{\mu }=x^{\mu }\circ \gamma (t)}
son las coordenadas de la curva γ(t) y Γ μ ν λ {\displaystyle \Gamma _{mu \nu }^{lambda }}
son los símbolos de Christoffel de la conexión ∇. Esta es una ecuación diferencial ordinaria para las coordenadas. Tiene una solución única, dada una posición inicial y una velocidad inicial. Por lo tanto, desde el punto de vista de la mecánica clásica, las geodésicas pueden considerarse como trayectorias de partículas libres en una variedad. En efecto, la ecuación ∇ γ ˙ γ ˙ = 0 {\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0}
significa que el vector aceleración de la curva no tiene componentes en la dirección de la superficie (y por tanto es perpendicular al plano tangente de la superficie en cada punto de la curva). Así, el movimiento está completamente determinado por la curvatura de la superficie. Esta es también la idea de la relatividad general en la que las partículas se mueven sobre geodésicas y la curvatura es causada por la gravedad.
Existencia y unicidadEditar
El teorema de existencia y unicidad local de las geodésicas afirma que las geodésicas en una variedad suave con una conexión afín existen, y son únicas. Más precisamente:
Para cualquier punto p en M y para cualquier vector V en TpM (el espacio tangente a M en p) existe una geodésica única γ {\displaystyle \gamma \,}
: I → M tal que γ ( 0 ) = p {\displaystyle \gamma (0)=p\,}
y γ ˙ ( 0 ) = V , {\displaystyle {\dot {\gamma }(0)=V,}
donde I es un intervalo abierto máximo en R que contiene a 0.
La demostración de este teorema se desprende de la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias, al observar que la ecuación geodésica es una EDO de segundo orden. La existencia y la unicidad se derivan entonces del teorema de Picard-Lindelöf para las soluciones de las EDO con condiciones iniciales prescritas. γ depende suavemente tanto de p como de V.
En general, I puede no ser todo R como por ejemplo para un disco abierto en R2. Cualquier γ se extiende a todo ℝ si y sólo si M es geodésicamente completo.
Flujo geodésicoEditar
El flujo geodésico es una acción local de R sobre el haz tangente TM de una colector M definida de la siguiente manera
G t ( V ) = γ ˙ V ( t ) {\displaystyle G^{t}(V)={\dot {\gamma }}_{V}(t)}
donde t ∈ R, V ∈ TM y γ V {\displaystyle \gamma _{V}}
denota la geodésica con datos iniciales γ ˙ V ( 0 ) = V {\displaystyle {\dot {\gamma }}_{V}(0)=V}
. Por lo tanto, G t {\displaystyle G^{t}}
(V) = exp(tV) es el mapa exponencial del vector tV. Una órbita cerrada del flujo geodésico se corresponde con una geodésica cerrada en M.
En una (pseudo)variedad riemanniana, el flujo geodésico se identifica con un flujo hamiltoniano en el haz cotangente. El hamiltoniano viene dado entonces por la inversa de la métrica (pseudo)riemanniana, evaluada contra la forma única canónica. En particular, el flujo preserva la métrica (pseudo)riemanniana g {\displaystyle g}
, es decir, g ( G t ( V ) , G t ( V ) ) = g ( V , V ) . {\displaystyle g(G^{t}(V),G^{t}(V))=g(V,V).\N-En particular, cuando V es un vector unitario, γ V {\displaystyle \gamma _{V}}.
permanece con velocidad unitaria en todo momento, por lo que el flujo geodésico es tangente al haz tangente unitario. El teorema de Liouville implica la invariancia de una medida cinemática sobre el haz tangente unitario.
Pulverización geodésicaEditar
El flujo geodésico define una familia de curvas en el haz tangente. Las derivadas de estas curvas definen un campo vectorial sobre el espacio total del haz tangente, conocido como rocío geodésico.
Más precisamente, una conexión afín da lugar a un desdoblamiento del doble haz tangente TTM en haces horizontales y verticales:
T T M = H ⊕ V . {\displaystyle TTM=H\oplus V.}
La rociada geodésica es el único campo vectorial horizontal W que satisface
π ∗ W v = v {\displaystyle \pi _{*}W_{v}=v\},}
en cada punto v ∈ TM; aquí π∗ : TTM → TM denota el pushforward (diferencial) a lo largo de la proyección π : TM → M asociada al haz tangente.
Más generalmente, la misma construcción permite construir un campo vectorial para cualquier conexión de Ehresmann sobre el haz tangente. Para que el campo vectorial resultante sea una pulverización (en el haz tangente eliminado TM \ {0}) basta con que la conexión sea equivariante bajo reescalados positivos: no es necesario que sea lineal. Es decir, (cf. Ehresmann connection#Vector bundles and covariant derivatives) basta con que la distribución horizontal satisfaga
H λ X = d ( S λ ) X H X {\displaystyle H_{lambda X}=d(S_{lambda })_{X}H_{X},}
para cada X ∈ TM \ {0} y λ > 0. Aquí d(Sλ) es el pushforward a lo largo de la homotecia escalar S λ : X ↦ λ X . {\displaystyle S_{lambda }:X\mapsto \lambda X.}
Un caso particular de una conexión no lineal que surge de esta manera es la asociada a una variedad de Finsler.
Geodésicas afines y proyectivasEditar
La ecuación (1) es invariante bajo reparametrizaciones afines; es decir, parametrizaciones de la forma
t ↦ a t + b {\displaystyle t\mapsto at+b}
donde a y b son números reales constantes. Así, además de especificar una cierta clase de curvas incrustadas, la ecuación geodésica también determina una clase preferida de parametrizaciones en cada una de las curvas. En consecuencia, las soluciones de (1) se denominan geodésicas con parámetro afín.
Una conexión afín está determinada por su familia de geodésicas con parámetro afín, hasta la torsión (Spivak 1999, Capítulo 6, Addendum I). La torsión en sí misma no afecta, de hecho, a la familia de geodésicas, ya que la ecuación geodésica depende sólo de la parte simétrica de la conexión. Más precisamente, si ∇ , ∇ ¯ {\displaystyle \nabla ,{\bar {\nabla }}
son dos conexiones tales que el tensor de diferencias D ( X , Y ) = ∇ X Y – ∇ ¯ X Y {\displaystyle D(X,Y)=\nabla _{X}Y-{bar {\nabla }}_{X}Y}
