Tu estructura propuesta es errónea. El nitrógeno no supera el octeto en ninguno de sus compuestos conocidos (e incluso si se descubre $\ce{NF5}$ no superará el octeto según todo lo que sabemos ahora). Sin embargo, si tiene una carga formal negativa eso significa un electrón adicional que se añade a los 5 que suele tener el nitrógeno; si cuatro de esos seis electrones se utilizan para construir los dobles enlaces, todavía hay un par solitario en el nitrógeno para un total de 10 electrones.
Si tienes problemas para determinar las estructuras de Lewis, hay cuatro cálculos rápidos que puedes realizar para ayudarte:
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Suma todos los electrones de valencia que los átomos están aportando al compuesto.
Cada nitrógeno tiene cinco electrones más hay una carga negativa (electrón adicional) por lo que:$3\también5+1=16\tag{1}$$
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Suma cuántos electrones de valencia serían necesarios para que cada átomo tenga un octeto (para el hidrógeno: dublet) propio.
Cada nitrógeno querría ocho electrones por lo que:$3 veces8=24\a2$$
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Toma $(2)-(1)$. Esto representa el número de electrones que los átomos deben compartir, es decir, el número de enlaces.
$$24-16=8\tag{3}$
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Toma $(1)-(3)$. Esto representa el número de electrones que no tienen que participar en los enlaces; entonces deben distribuirse como pares solitarios.
$$16-8=8\tag{4}$$
Entonces, empieza a dibujar pero asegúrate de que tienes tantos pares solitarios y electrones de enlace como indican las ecuaciones. Ignorando los pares solitarios, podemos obtener las siguientes estructuras posibles para $\ce{N3-}$:
$$\ce{N#N}\qquad\qquad\ce{N=N}\qquad\qquad\ce{N-N#N}$$
(El ejercicio de distribuir cuatro pares solitarios entre los tres nitrógenos para que cada uno tenga finalmente ocho electrones de valencia se deja al lector porque me da pereza abrir ChemDraw para dibujar las estructuras.)
Después de haber hecho eso, necesitas echar un vistazo a las cargas formales potenciales. Para ello, divide cada enlace de forma homogénea (es decir, dale a cada átomo uno de los electrones de enlace) y cuenta. Compara ese recuento con el que debería tener un átomo; la diferencia corresponde a la carga formal del átomo. (Como los electrones son negativos, un electrón adicional corresponde a una carga de $-1$). Cuando se hace para esas tres estructuras, llegamos a:
$$\ce{N#\overset{+}{N}-\overset{2-}{N}}\qquad\qquad\ce{\overset{-}{N}=\overset{+}{N}=\overset{-}{N}}\qquad\qquad\ce{\overset{2-}{N}-\overset{+}{N}#N}$$
In each of those cases, las cargas formales suman la carga global del ion molecular ($-1$), lo que indica que lo hemos hecho correctamente. (Una vez más, he omitido tímidamente los pares solitarios; puedes utilizar mis cargas formales para determinar dónde deberían haber estado y cuántas.)
No existe un principio de cargas formales nulas. Sin embargo, cuando se debate entre diferentes estructuras, una estructura con menos cargas formales es a menudo (¡no siempre!) más ‘favorable’. (El término real debería ser ‘contribuye más a la imagen global’, pero eso puede confundir demasiado en este momento.)
¿Pero cuál de las tres es correcta? Todas lo son. De hecho, esto es lo que se conoce como mesomería: tenemos varias estructuras (de resonancia) que todas explican un poco el compuesto real pero ninguna tiene la verdad absoluta. Para mostrar esto, se suelen dibujar flechas de resonancia entre las representaciones:
$$\ce{N#\overset{+}{N}-\overset{2-{N} <-> \overset{-}{N}=\overset{+}{N}=\overset{-}{N} <-> \overset{2-}{N}-\overset{+}#N}$$
La diferencia clave entre las estructuras correctas y tu proposición es que el átomo de nitrógeno central nunca puede llevar una carga formal negativa ya que necesita acomodar cuatro enlaces a sus vecinos lo que sólo es posible para $\ce{N+}$.
En cuanto a la respuesta dada en la respuesta de los deberes: No es estrictamente correcta porque está incompleta. Las tres estructuras deberían marcarse como correctas – hasta que se haya introducido formalmente el concepto de resonancia en cuyo momento sólo debería serlo una combinación de las tres.