Kinematická aproximace přestává platit, když se magnetické pole stane dostatečně silným, aby ovlivnilo pohyby tekutiny. V takovém případě začne rychlostní pole ovlivňovat Lorentzova síla, a tak indukční rovnice již není lineární v magnetickém poli. Ve většině případů to vede ke ztlumení amplitudy dynama. Taková dynama se někdy označují také jako hydromagnetická dynama, prakticky všechna dynama v astrofyzice a geofyzice jsou hydromagnetická dynama.
Hlavní myšlenka teorie spočívá v tom, že jakékoli malé magnetické pole existující ve vnějším jádře vytváří v důsledku Lorenzovy síly proudy v tam se pohybující tekutině. Tyto proudy vytvářejí další magnetické pole v důsledku Ampérova zákona. S pohybem tekutiny se proudy přenášejí tak, že magnetické pole sílí (pokud u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \krát \mathbf {B} )}
je záporná). „Zárodečné“ magnetické pole tedy může být stále silnější, dokud nedosáhne určité hodnoty, která souvisí s existujícími nemagnetickými silami.
K simulaci plně nelineárních dynam se používají numerické modely. Používají se následující rovnice:
- Indukční rovnice, uvedená výše.
- Maxwellovy rovnice pro zanedbatelné elektrické pole:
∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}
∇ × B = μ 0 J {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }
- Rovnice kontinuity pro zachování hmotnosti, pro kterou se často používá Boussinesqova aproximace:
∇ ⋅ u = 0 , {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0,}
- Navierova-Stokesova rovnice pro zachování hybnosti, opět ve stejné aproximaci, s magnetickou a gravitační silou jako vnějšími silami:
D u D t = – 1 ρ 0 ∇ p + ν ∇ 2 u + ρ ′ g + 2 Ω × u + Ω × Ω × R + 1 ρ 0 J × B , {\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=-{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\rho ‚\mathbf {g} +2\mathbf {\Omega } \times \mathbf {u} +\mathbf {\Omega } \times \mathbf {\Omega } \times \mathbf {R} +{\frac {1}{\rho _{0}}\mathbf {J} \times \mathbf {B} ,}
kde ν {\displaystyle \nu }
je kinematická viskozita, ρ 0 {\displaystyle \rho _{0}}
je střední hustota a ρ ′ {\displaystyle \rho ‚}
je relativní perturbace hustoty, která zajišťuje vztlak (pro tepelnou konvekci ρ ′ = α Δ T {\displaystyle \rho ‚=\alpha \Delta T}
kde α {\displaystyle \alpha }
je koeficient tepelné roztažnosti), Ω {\displaystyle \Omega }
je rychlost rotace Země a J {\displaystyle \mathbf {J} }
je hustota elektrického proudu.
- Transportní rovnice, obvykle tepla (někdy koncentrace lehkých prvků):
∂ T ∂ t = κ ∇ 2 T + ϵ {\displaystyle {\frac {\část T}{\část t}}=\kappa \nabla ^{2}T+\epsilon }
kde T je teplota, κ = k / ρ c p {\displaystyle \kappa =k/\rho c_{p}}
je tepelná difuzivita s tepelnou vodivostí k, c p {\displaystyle c_{p}}
tepelná kapacita a ρ {\displaystyle \rho }
hustota a ϵ {\displaystyle \epsilon }.
je nepovinný zdroj tepla. Tlak je často dynamický tlak s odstraněným hydrostatickým tlakem a dostředivým potenciálem.
Tyto rovnice se pak nedimenzují zavedením nedimenzionálních parametrů,
R a = g α T D 3 ν κ , E = ν Ω D 2 , P r = ν κ , P m = ν η {\displaystyle Ra={\frac {g\alfa TD^{3}}{\nu \kappa }},E={\frac {\nu }{\Omega D^{2}}},Pr={\frac {\nu }{\kappa }},Pm={\frac {\nu }{\eta }}}
kde Ra je Rayleighovo číslo, E Ekmanovo číslo, Pr a Pm Prandtlovo a magnetické Prandtlovo číslo. Měřítko magnetického pole se často udává v jednotkách Elsasserova čísla B = ( ρ Ω / σ ) 1 / 2 {\displaystyle B=(\rho \Omega /\sigma )^{1/2}}.
.
Přeměna energie mezi magnetickou a kinematickou energiíEdit
Skalární součin výše uvedeného tvaru Navierovy-Stokesovy rovnice s ρ 0 u {\displaystyle \rho _{0}\mathbf {u} }
dává rychlost nárůstu hustoty kinetické energie, ( 1 / 2 ) ρ 0 u 2 {\displaystyle (1/2)\rho _{0}u^{2}}.
, na levé straně. Poslední člen na pravé straně je pak u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
, lokální příspěvek ke kinetické energii způsobený Lorentzovou silou.
Skalární součin indukční rovnice s ( 1 / μ 0 ) B {\displayystyle (1/\mu _{0})\mathbf {B} }
dává rychlost růstu hustoty magnetické energie, ( 1 / 2 μ 0 ) B 2 {\displaystyle (1/2\mu _{0})B^{2}}.
, na levé straně. Poslední člen na pravé straně je pak ( 1 / μ 0 ) B ⋅ ( ∇ × ( u × B ) ). {\displaystyle (1/\mu _{0})\mathbf {B} \cdot \left(\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )\right)}
. Protože rovnice je objemově integrovaná, je tento člen až na okrajový člen (a s dvojím použitím identity skalárního trojnásobku) ekvivalentní – u ⋅ ( ( 1 / μ 0 ) ( ∇ × B ) × B ) ) = – u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle -\mathbf {u} \cdot \left((1/\mu _{0})(\nabla \times \mathbf {B} )\times \mathbf {B} )\right)=-\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
(kde byla použita jedna z Maxwellových rovnic). Jedná se o lokální příspěvek k magnetické energii v důsledku pohybu kapaliny.
Tedy člen – u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle -\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )} }
je rychlost přeměny kinetické energie na magnetickou energii. Ta musí být alespoň v části objemu nezáporná, aby dynamo vytvářelo magnetické pole.
Z výše uvedeného diagramu není jasné, proč by tento člen měl být kladný. Jednoduchý argument lze založit na úvaze o čistých účincích. Aby se vytvořilo magnetické pole, musí se čistý elektrický proud obtáčet kolem osy rotace planety. V takovém případě, aby byl tento člen kladný, musí čistý tok vodivé hmoty směřovat k ose otáčení. Na obrázku je znázorněn pouze čistý tok od pólů k rovníku. Zachování hmoty však vyžaduje další tok od rovníku směrem k pólům. Pokud by tento tok probíhal podél osy rotace, znamenalo by to, že oběh by byl doplněn tokem od zobrazených směrem k ose rotace, čímž by vznikl požadovaný efekt.
Řád velikosti magnetického pole vytvořeného zemským dynamemUpravit
Výše uvedený vzorec pro rychlost přeměny kinetické energie na magnetickou energii, je ekvivalentní rychlosti práce vykonané silou J × B {\displaystyle \mathbf {J}. \times \mathbf {B} }
na hmotu vnějšího jádra, jejíž rychlost je u {\displaystyle \mathbf {u} }
. Tato práce je výsledkem nemagnetických sil působících na kapalinu.
Z nich gravitační síla a odstředivá síla jsou konzervativní, a proto celkově nepřispívají k pohybu tekutiny v uzavřených smyčkách. Ekmanovo číslo (definované výše), které je poměrem mezi dvěma zbývajícími silami, tedy viskozitou a Coriolisovou silou, je uvnitř vnějšího zemského jádra velmi nízké, protože jeho viskozita je nízká (1,2-1.5 x10-2 pascalů za sekundu ) díky své tekutosti.
Takže hlavní časově zprůměrovaný příspěvek k práci je od Coriolisovy síly, jejíž velikost je – 2 ρ Ω × u {\displaystyle -2\rho \,\mathbf {\Omega } \times \mathbf {u} }
, ačkoli tato veličina a J × B {\displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {B} }
spolu souvisejí pouze nepřímo a nejsou si obecně lokálně rovny (vzájemně se tedy ovlivňují, ale ne ve stejném místě a čase).
Sama proudová hustota J je výslednicí magnetického pole podle Ohmova zákona. Opět v důsledku pohybu hmoty a toku proudu nemusí jít nutně o pole ve stejném místě a čase. Přesto lze tyto vztahy použít k odvození řádů velikosti daných veličin.
Z hlediska řádu velikosti jsou J B ∼ ρ Ω u {\displaystyle J\,B\sim \rho \,\Omega \,u}
a J ∼ σ u B {\displaystyle J\sim \sigma uB}.
, což dává σ u B 2 ∼ ρ Ω u {\displaystyle \sigma \,u\,B^{2}\sim \rho \,\Omega \,u}
, nebo: B ∼ ρ Ω σ {\displaystyle B\sim {\sqrt {\frac {\rho \,\Omega }{\sigma }}}}
Přesný poměr mezi oběma stranami je odmocnina z Elsasserova čísla.
Všimněte si, že z této aproximace nelze odvodit směr magnetického pole (alespoň ne jeho znaménko), protože se jeví jako čtvercový a někdy je skutečně obrácený, i když obecně leží na podobné ose jako Ω {\displaystyle \mathbf {\Omega }. }
.
Pro vnější jádro Země je ρ přibližně 104 kg/m3, Ω=2π/den = 7,3×10-5 sekund a σ je přibližně 107Ω-1m-1. To dává 2,7×10-4 Tesla.
Magnetické pole magnetického dipólu má inverzní kubickou závislost ve vzdálenosti, takže jeho řádovou velikost na zemském povrchu lze aproximovat vynásobením výše uvedeného výsledku s (Router core/REarth)3 = (2890/6370)3 = 0,093, což dává 2,5×10-5 Tesla, což není daleko k naměřené hodnotě 3×10-5 Tesla na rovníku.
.