Klasický fázový prostorEdit
Popis klasického systému o F stupních volnosti lze vyjádřit pomocí 2F rozměrného fázového prostoru, jehož souřadnicové osy tvoří F zobecněných souřadnic qi systému a jeho F zobecněných hybností pi. Mikrostav takového systému bude určen jediným bodem ve fázovém prostoru. Pro systém s obrovským počtem stupňů volnosti však jeho přesný mikrostav obvykle není důležitý. Proto lze fázový prostor rozdělit na buňky o velikosti h0=ΔqiΔpi , z nichž každá se považuje za mikrostav. Nyní jsou mikrostavy diskrétní a spočitatelné a vnitřní energie U již nemá přesnou hodnotu, ale pohybuje se mezi U a U+δU, přičemž δ U ≪ U {\textstyle \delta U\ll U}
.
Počet mikrostavů Ω, které může uzavřený systém zaujímat, je úměrný objemu jeho fázového prostoru:
kde 1 δ U ( H ( x ) – U ) {\textstyle \mathbf {1} _{\delta U}(H(x)-U)}
je indikační funkce. Je 1, pokud Hamiltonova funkce H(x) v bodě x = (q,p) ve fázovém prostoru leží mezi U a U+ δU, a 0, pokud tomu tak není. Konstanta 1 h 0 F {\textstyle {\frac {1}{h_{0}^{\mathcal {F}}}}}
činí Ω(U) bezrozměrným. Pro ideální plyn je Ω ( U ) ∝ F U F 2 – 1 δ U {\displaystyle \Omega (U)\propto {\mathcal {F}}U^{{\frac {\mathcal {F}}{2}}-1}\delta U}.
.
V tomto popisu jsou částice rozlišitelné. Pokud dojde k výměně polohy a hybnosti dvou částic, bude nový stav reprezentován jiným bodem ve fázovém prostoru. V tomto případě bude jeden bod představovat mikrostav. Pokud je podmnožina M částic navzájem nerozlišitelná, pak se M! možných permutací nebo možných výměn těchto částic bude počítat jako součást jednoho mikrostavu. Soubor možných mikrostavů se také odráží v omezeních termodynamického systému.
Například v případě jednoduchého plynu o N částicích s celkovou energií U obsažených v krychli o objemu V, v němž vzorek plynu nelze experimentálními prostředky odlišit od žádného jiného vzorku, bude mikrostav tvořen výše zmíněnými N! bodů ve fázovém prostoru a množina mikrostavů bude omezena tak, aby všechny polohové souřadnice ležely uvnitř krychle a hybnosti ležely na hypersférické ploše v hybnostních souřadnicích o poloměru U. Jestliže naopak soustava sestává ze směsi dvou různých plynů, jejichž vzorky lze od sebe odlišit, řekněme A a B, pak se počet mikrostavů zvýší, protože dva body, v nichž se ve fázovém prostoru vymění částice A a B, již nejsou součástí téhož mikrostavu. Dvě částice, které jsou identické, lze přesto rozlišit například na základě jejich umístění. (Viz konfigurační entropie.) Pokud krabice obsahuje identické částice a je v rovnováze a je vložena přepážka, která rozdělí objem na polovinu, částice v jedné krabici jsou nyní rozlišitelné od částic v druhé krabici. Ve fázovém prostoru je nyní N/2 částic v každé krabici omezeno na objem V/2 a jejich energie na U/2 a počet bodů popisujících jeden mikrostav se změní: popis fázového prostoru není stejný.
To má důsledky jak v Gibbsově paradoxu, tak ve správném Boltzmannově počítání. Pokud jde o Boltzmannovo počítání, je to právě násobnost bodů ve fázovém prostoru, která účinně snižuje počet mikrostavů a činí entropii extenzivní. Pokud jde o Gibbův paradox, důležitým výsledkem je, že zvýšení počtu mikrostavů (a tedy zvýšení entropie) v důsledku vložení přepážky přesně odpovídá snížení počtu mikrostavů (a tedy snížení entropie) v důsledku zmenšení objemu dostupného pro každou částici, což dává čistou nulovou změnu entropie.
.