A aproximação cinemática torna-se inválida quando o campo magnético se torna forte o suficiente para afectar os movimentos do fluido. Nesse caso o campo de velocidade torna-se afectado pela força de Lorentz, e assim a equação de indução já não é linear no campo magnético. Na maioria dos casos isto leva a um apagamento da amplitude do dínamo. Tais dínamos são às vezes também referidos como dínamos hidromagnéticos. Praticamente todos os dínamos em astrofísica e geofísica são dínamos hidromagnéticos.
A idéia principal da teoria é que qualquer pequeno campo magnético existente no núcleo externo cria correntes no fluido em movimento lá devido à força de Lorenz. Estas correntes criam mais campo magnético devido à lei de Ampere. Com o movimento do fluido, as correntes são transportadas de uma forma que o campo magnético fica mais forte (desde que u ⋅ ( J × B ) {\i} {\i1}displaystyle {u}mathbf {\i}cdot ({\i1}mathbf {J}times {\i}mathbf {B} )}
é negativo). Assim um campo magnético “semente” pode ficar cada vez mais forte até atingir algum valor que esteja relacionado com forças não magnéticas existentes.
Modelos numéricos são usados para simular dínamos totalmente não lineares. As seguintes equações são usadas:
- A equação de indução, apresentada acima.
- Equações de Maxwell para campo eléctrico insignificante:
∇ ⋅ B = 0 {\\i1}displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}
∇ × B = μ 0 J {\i1}displaystyle {\i}mathbf {B} =mu _{0}mathbf {J} }
- A equação de continuidade para a conservação da massa, para a qual a aproximação Boussinesq é frequentemente utilizada:
∇ ⋅ u = 0 , {\\\i1}displaystyle \i}nabla \i}mathbf {\i} =0,}
- A equação de Navier-Stokes para conservação do momento, novamente na mesma aproximação, com a força magnética e força de gravitação das forças externas:
D u D t = – 1 ρ 0 ∇ p + ν ∇ 2 u + ρ ′ g + 2 Ω × u + Ω × Ω × R + 1 ρ 0 J × B , {\i}displaystyle {\i}frac {\i}mathbf {\i} “Dt”… “Fr Fr Fr”… “Rho”… “Nabla p+nu”… “Nabla”… “Mathbf”… “Frho”… “Mathbf”… +2mathbf {\i1}Omega {\i} \vezes matemathbf + matemathbf Omega \vezes matemathbf \vezes matemathbf +frac 1 \vezes {B},}
onde ν {\i1}displaystyle {\i}
é a viscosidade cinemática, ρ 0 {\i1}displaystyle {\i}rho _{\i}
é a densidade média e ρ ′ {\i1}displaystyle {\i}rho ‘}
é a perturbação de densidade relativa que proporciona flutuabilidade (para convecção térmica ρ ′ = α Δ T {\displaystyle {\displaystyle \rho ‘==alpha \delta T}
onde α {\i1}displaystyle {\i}alpha
é coeficiente de expansão térmica), Ω {\i1}displaystyle {\i}Omega
é a taxa de rotação da Terra, e J {\i1}displaystyle {\i}mathbf {\i} }
é a densidade da corrente eléctrica.
onde T é temperatura, κ = k / ρ c p {\displaystyle \kappa =k/\rho c_{p}}
é a difusividade térmica com k condutividade térmica, c p {\i1}displaystyle c_{p}}
capacidade térmica, e ρ {\i1}displaystyle {\i}rho
densidade, e ϵ {\i1}displaystyleepsilon
é uma fonte de calor opcional. Muitas vezes a pressão é a pressão dinâmica, com a pressão hidrostática e o potencial centrípeta removidos.
Estas equações são então não-dimensionalizadas, introduzindo os parâmetros não-dimensionais,
R a = g α T D 3 ν κ , E = ν Ω D 2 , P r = ν κ , P m = ν η η Ra=frac {g=alpha TD^{3}},E=frac {\i}{\i1}Omega D^2},Pr=frac {\i},Pm=frac {\i}{\i1}pm
onde Ra é o número Rayleigh, E o número Ekman, Pr e Pm o número Prandtl e o número Prandtl magnético. A escala do campo magnético é frequentemente em unidades numéricas Elsasser B = ( ρ Ω / σ ) 1 / 2 {\displaystyle B=(\rho \mega /\sigma )^{1/2}}
.
Conversão de energia entre energia magnética e cinemáticaEditar
O produto escalar da forma acima da equação Navier-Stokes com ρ 0 u {\i1}displaystyle {\i}rho _{\i}mathbf {\i} }
dá a taxa de aumento da densidade de energia cinética, ( 1 / 2 ) ρ 0 u 2 {\displaystyle (1/2)\rho _{0}u^{2}}
, do lado esquerdo. O último termo no lado direito é então u ⋅ ( J × B ) {\i1}displaystyle {\i}mathbf {\i}cdot (mathbf {\i} {\i}times {\i}mathbf {B}} {\i1}
, a contribuição local para a energia cinética devido à força de Lorentz. }
dá a taxa de aumento da densidade da energia magnética, ( 1 / 2 μ 0 ) B 2 {\\i _{0})B^{2}}
, do lado esquerdo. O último termo do lado direito é então ( 1 / μ 0 ) B ⋅ ( ∇ × ( u × B ) ) estilo de jogo (1/\u _0})mathbf \esquerda (nabla) vezes (mathbf) (u) vezes (mathbf) (B) direita (
. Uma vez que a equação é volume-integrated, este termo é equivalente até um termo limite (e com o duplo uso da identidade do produto triplo escalar) para – u ⋅ ( 1 / μ 0 ) ( ∇ × B ) × B ) ) = – u ⋅ ( J × B ) {\i1}displaystyle -\mathbf {u}cdot {\i} {\i1}-esquerda((1/\i _\i})(nabla {\i} {B} ){mathbf {B} ){B}direita)=– mathbf {u}cdot (mathbf {J} {J} {B} {B} {B}
(onde foi usada uma das equações de Maxwell). Esta é a contribuição local para a energia magnética devido ao movimento fluido.
Assim o termo – u ⋅ ( J × B ) {\i} {\i1}displaystyle -mathbf {u}cdot ({\i}mathbf {J} {\i}times {\i}mathbf {B} )}
é a taxa de transformação da energia cinética em energia magnética. Esta tem de ser não-negativa pelo menos em parte do volume, para que o dínamo produza campo magnético.
Pelo diagrama acima, não está claro porque este termo deve ser positivo. Um argumento simples pode ser baseado na consideração dos efeitos líquidos. Para criar o campo magnético, a corrente elétrica da rede deve envolver o eixo de rotação do planeta. Nesse caso, para que o termo seja positivo, o fluxo líquido de matéria condutora deve estar em direção ao eixo de rotação. O diagrama mostra apenas um fluxo líquido dos pólos para o equador. No entanto, a conservação da massa requer um fluxo adicional do equador para os pólos. Se esse fluxo estivesse ao longo do eixo de rotação, isso implica que a circulação seria completada por um fluxo dos mostrados em direção ao eixo de rotação, produzindo o efeito desejado.
Ordem de magnitude do campo magnético criado pelo dínamoEdit da Terra
A fórmula acima para a taxa de conversão da energia cinética em energia magnética, é equivalente a uma taxa de trabalho feita por uma força de J × B {\displaystyle \mathbf {J} \vezes matemathbf }
na matéria do núcleo exterior, cuja velocidade é u{\i}mathbf {\i} }
. Este trabalho é o resultado de forças não magnéticas que agem sobre o fluido.
Destas, a força gravitacional e a força centrífuga são conservadoras e, portanto, não têm contribuição global para o movimento do fluido em circuitos fechados. O número Ekman (definido acima), que é a razão entre as duas forças restantes, nomeadamente a viscosidade e a força de Coriolis, é muito baixa no interior do núcleo externo da Terra, porque a sua viscosidade é baixa (1,2-1.5 x10-2 pascal-segundo ) devido à sua liquidez.
Assim, a principal contribuição de tempo médio para o trabalho é da força de Coriolis, cujo tamanho é – 2 ρ Ω × u {\displaystyle -2\rho {\mathbf {\mega } \vezes matemathbf }
, embora esta quantidade e J × B {\\i1}mathbf {J} \vezes matemathbf }
estão relacionados apenas indirectamente e não são, em geral, iguais localmente (assim, afectam um ao outro mas não no mesmo lugar e no mesmo tempo).
A densidade da corrente J é ela própria o resultado do campo magnético de acordo com a lei de Ohm. Novamente, devido ao movimento da matéria e fluxo de corrente, este não é necessariamente o campo no mesmo lugar e hora. No entanto estas relações ainda podem ser usadas para deduzir ordens de magnitude das quantidades em questão.
Em termos de ordem de magnitude, J B ∼ ρ u {\displaystyle J\,B\sim {\displaystyle J\sim {\displaystyle J\sim {\displaystyle J\displaystyle J\sim {\displaystyle J\sigma uB}
, dando σ u B 2 ∼ ρ Ω u ^sigma estilo de jogo ^,u,B^2 ^sim ^rho ^,Omega ^,u}
, ou: B ∼ ρ Ω σ }}}} Bsim estilo de jogo Bsimqrtfrac, Omega }}}}
A relação exacta entre ambos os lados é a raiz quadrada do número Elsasser.
Notem que a direcção do campo magnético não pode ser inferida a partir desta aproximação (pelo menos não o seu signo) como aparece ao quadrado, e é, de facto, por vezes invertida, embora em geral se situe num eixo semelhante ao do Ω {\i1}displaystyle {\i}mathbf {\i} }
.
Para terra núcleo externo, ρ é aproximadamente 104 kg/m3, Ω=2π/dia = 7.3×10-5 segundos e σ é aproximadamente 107Ω-1m-1.Isto dá 2.7×10-4 Tesla.
O campo magnético de um dipolo magnético tem uma dependência cúbica inversa em distância, de modo que sua ordem de magnitude na superfície terrestre pode ser aproximada multiplicando-se o resultado acima com (Núcleo do roteador/Rearth)3 = (2890/6370)3 = 0,093, dando 2,5×10-5 Tesla, não muito longe do valor medido de 3×10-5 Tesla no equador.