Uma geodésica num colector suave M com uma ligação afim ∇ é definida como uma curva γ(t) tal que o transporte paralelo ao longo da curva preserva o vector tangente à curva, so
|
∇ γ γ ˙ ˙ = 0 {\\i1}{\i1}displaystyle {\i}{\i1}nabla _{\i}dot {\i}{\i}{\i}{\i1}gamma {\i}=0}
 |
|
(1) |
em cada ponto ao longo da curva, onde γ ˙ ˙
é o derivado em relação ao t {\i1}displaystyle t
. Mais precisamente, a fim de definir a derivada covariante de γ ˙ {\\i1}displaystyle {\i}}
é necessário primeiro ampliar γ ˙ {\i1}displaystyle {\i}{\i1}displaystyle {\i}
a um campo vectorial continuamente diferenciável num conjunto aberto. Entretanto, o valor resultante de (1) é independente da escolha de extensão.
Usando coordenadas locais em M, podemos escrever a equação geodésica (usando a convenção da soma) como
d 2 γ λ d t 2 + Γ μ μ ν λ d γ μ d t d γ ν d t = 0 , Gamma Gamma Gamma Gamma Gamma Gamma Gamma Gamma Gamma Gamma Gamma Gamma Gamma Gamma Gamma Gamma Gamma Gamma Gamma Gamma Gamma Gamma Gamma Gamma Gamma Gamma Gamma Gamma Gamma Gamma Gamma Gamma Gamma
where γ μ = x μ ∘ γ ( t ) ^{\i1}displaystyle ^{\i}=x^{\i ^{\i ^circ ^gamma (t)}
são as coordenadas da curva γ(t) e Γ μ ν λ {\i1}displaystyle {\i}Gamma _{\i {\i }nu ^{\i1}lambda
são os símbolos Christoffel da conexão ∇. Esta é uma equação diferencial comum para as coordenadas. Tem uma solução única, dada uma posição inicial e uma velocidade inicial. Portanto, do ponto de vista da mecânica clássica, a geodésia pode ser pensada como trajetórias de partículas livres em um coletor. De facto, a equação ∇ γ γ γ ˙ ˙ = 0 {\\i1}{\i1}nabla _{\i}dot {\i}{\i1}{\i1}gamma {\i}=0}
significa que o vector de aceleração da curva não tem componentes na direcção da superfície (e portanto é perpendicular ao plano tangente da superfície em cada ponto da curva). Portanto, o movimento é completamente determinado pela flexão da superfície. Esta é também a idéia de relatividade geral onde as partículas se movem na geodésica e a flexão é causada pela gravidade.
Existência e singularidadeEditar
O teorema da existência local e singularidade para a geodésia afirma que a geodésia num colector liso com uma ligação afim existe, e é única. Mais precisamente:
Para qualquer ponto p em M e para qualquer vector V em TpM (o espaço tangente a M em p) existe um geodésico único γ {\displaystyle \gamma \,}
: I → M tal que γ ( 0 ) = p {\\displaystyle \gamma (0)=p\,}
e γ ˙ ( 0 ) = V , {\displaystyle {\gamma }}(0)=V,}
onde I é um intervalo aberto máximo em R contendo 0.
A prova deste teorema decorre da teoria das equações diferenciais comuns, notando que a equação geodésica é uma ODE de segunda ordem. Existência e singularidade então seguem do teorema de Picard-Lindelöf para as soluções de EDOs com condições iniciais prescritas. γ depende suavemente de p e V.
Em geral, eu posso não ser todo de R como, por exemplo, para um disco aberto em R2. Qualquer γ se estende a todo o ℝ se e somente se M estiver geodésicamente completo.
Fluxo geodésicoEditar
O fluxo geodésico é uma acção R local no feixe tangente TM de um colector M definido da seguinte forma
G t ( V ) = γ ˙ V ( t ) {\displaystyle G^{t}(V)={\gamma }}_{V}(t)}
where t ∈ R, V ∈ TM e γ V {\i1}displaystyle {\i}gamma _{\i}
denota o geodésico com dados iniciais γ ˙ V ( 0 ) = V {\displaystyle {\gamma }}_{V}(0)=V}
. Assim, G t ^{\t}}
(V) = exp(tV) é o mapa exponencial do vector tV. Uma órbita fechada do fluxo geodésico corresponde a um geodésico fechado em M.
Em um (pseudo-)coletor Riemanniano, o fluxo geodésico é identificado com um fluxo Hamiltoniano no feixe cotangente. O Hamiltoniano é então dado pelo inverso da métrica (pseudo-)Riemanniana, avaliado contra a forma única canônica. Em particular, o fluxo preserva a métrica (pseudo-)Riemanniana g {\i1}displaystyle g
, ou seja, g ( G t ( V ) , G t ( V ) ) = g ( V , V ) . g^(G^{t}(V),G^{t}(V))=g(V,V).\,}
Em particular, quando V é um vector de unidade, γ V {\displaystyle \gamma _{V}}
permanece a velocidade unitária ao longo de todo, de modo que o fluxo geodésico é tangente ao feixe tangente da unidade. O teorema de Liouville implica invariância de uma medida cinemática sobre o feixe tangente da unidade.
Spray geodésicoEditar
O fluxo geodésico define uma família de curvas no feixe tangente. As derivadas destas curvas definem um campo vetorial no espaço total do feixe tangente, conhecido como spray geodésico.
Mais precisamente, uma conexão afim dá origem a uma divisão do feixe tangente duplo TTM em feixes horizontais e verticais:
T T M = H ⊕ V . TTM=H\oplus V.}
O spray geodésico é o campo vectorial horizontal único W satisfazendo
π ∗ W v = v {\displaystyle \pi _{*}W_{v}=v\,}
em cada ponto v ∈ TM; aqui π∗ : TTM → TM denota o pushforward (diferencial) ao longo da projecção π : TM → M associado ao feixe tangente.
Mais geralmente, a mesma construção permite construir um campo vectorial para qualquer ligação Ehresmann no feixe tangente. Para que o campo vectorial resultante seja um spray (no feixe tangente apagado TM \ {0}) basta que a ligação seja equívoca sob redimensionamentos positivos: não precisa de ser linear. Ou seja, (cf. conexão Ehresmann#Feixes vetoriais e derivados covariantes) é suficiente que a distribuição horizontal satisfaça
H λ X = d ( S λ ) X H X X {\\lambda X}=d(S_{\lambda })_{X}H_{X},}
para cada X ∈ TM {0} e λ > 0. Aqui d(Sλ) é o pushforward ao longo da homotetia scalar S λ : X ↦ λ X . {\displaystyle S_{\lambda }:X\mapsto X.}lambda
Um caso particular de uma conexão não linear surgindo desta forma é aquele associado a um coletor Finsler.
Geodésica afim e projectivaEditar
Equação (1) é invariante sob reparametrizações afins; isto é, parametrizações da forma
t ↦ a t + b {\displaystyle t\mapsto at+b}
onde a e b são números reais constantes. Assim, além de especificar uma determinada classe de curvas embutidas, a equação geodésica também determina uma classe preferencial de parametrizações em cada uma das curvas. Assim, soluções de (1) são chamadas geodésicas com parâmetro afim.
Uma conexão afim é determinada por sua família de geodésicas afinamente parametrizadas, até a torção (Spivak 1999, Capítulo 6, Adendo I). A torção em si não afeta, de fato, a família de geodésicos, já que a equação geodésica depende apenas da parte simétrica da conexão. Mais precisamente, se ∇ , ∇ ¯ ¯displaystyle ¯nabla ,¯bar ¯nabla ¯
são duas conexões tais que a diferença tensor D ( X , Y ) = ∇ X Y – ∇ ¯ X Y ¯ X Y {\i1}displaystyle D(X,Y)==nabla _{X}Y-{\i}{X}Y}
