Geodyka

Geodykę na gładkiej rozmaitości M z afinicznym połączeniem ∇ definiuje się jako krzywą γ(t) taką, że transport równoległy wzdłuż krzywej zachowuje wektor styczny do krzywej, więc

∇ γ ˙ γ ˙ = 0 {{displaystyle \nabla _{{dot {{gamma }}=0}

(1)

w każdym punkcie wzdłuż krzywej, gdzie γ ˙ {displaystyle {{dot {{gamma }}}

jest pochodną względem t {{displaystyle t}}

. Dokładniej, aby zdefiniować pochodną kowariantną γ ˙ {displaystyle {{{{{{{{{{{{}}}}}

należy najpierw rozszerzyć γ ˙ {displaystyle {dot {gamma }}

do pola wektorowego różniczkowalnego w sposób ciągły w zbiorze otwartym. Jednak wynikowa wartość (1) jest niezależna od wyboru rozszerzenia.

Używając współrzędnych lokalnych na M, możemy zapisać równanie geodezyjne (stosując konwencję sumowania) jako

d 2 γ λ d t 2 + Γ μ ν λ d γ μ d t d γ ν d t = 0 , {{displaystyle}}+Gamma ^^{lambda }}{dt^{2}}+Gamma _{mu ^{lambda }}}{dt}}{dt}}}{dt}}{dt}}=0} ,}

gdzie γ μ = x μ ∘ γ ( t ) {{displaystyle ^^{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}

są współrzędnymi krzywej γ(t), a Γ μ ν λ {displaystyle \Gamma _{{mu \nu }^{lambda }}

są symbolami Christoffela połączenia ∇. Jest to równanie różniczkowe zwyczajne dla współrzędnych. Ma ono unikalne rozwiązanie, biorąc pod uwagę położenie początkowe i prędkość początkową. Dlatego z punktu widzenia mechaniki klasycznej, geodezyjki można traktować jako trajektorie swobodnych cząstek w rozmaitości. W istocie, równanie ∇ γ ˙ γ ˙ = 0 {{displaystyle ˙nabla _{ {{dot {{gamma }}}{{{dot {{gamma }}=0}}

oznacza, że wektor przyspieszenia krzywej nie ma składowych w kierunku powierzchni (a więc jest prostopadły do płaszczyzny stycznej do powierzchni w każdym punkcie krzywej). Tak więc ruch jest całkowicie zdeterminowany przez ugięcie powierzchni. Taka jest też idea ogólnej teorii względności, gdzie cząstki poruszają się po geodezyjnych liniach, a ugięcie jest spowodowane grawitacją.

Istnienie i unikalnośćEdit

Twierdzenie o lokalnym istnieniu i unikalności geodezyjnej mówi, że geodezyjna na gładkiej rozmaitości z afinicznym połączeniem istnieje i jest unikalna. Dokładniej:

Dla dowolnego punktu p w M i dla dowolnego wektora V w TpM (przestrzeni stycznej do M w punkcie p) istnieje unikalna geodezyjna γ {{displaystyle \gamma \}

: I → M taka, że γ ( 0 ) = p { {displaystyle \gamma (0)=p}

oraz γ ˙ ( 0 ) = V , {displaystyle \gamma }(0)=V,}

gdzie I jest maksymalnie otwartym przedziałem w R zawierającym 0.

Dowód tego twierdzenia wynika z teorii równań różniczkowych zwyczajnych, poprzez zauważenie, że równanie geodezyjne jest równaniem ODE drugiego rzędu. Istnienie i jednoznaczność wynikają z twierdzenia Picarda-Lindelöfa dla rozwiązań równań ODE z zadanymi warunkami początkowymi. γ zależy płynnie zarówno od p jak i V.

W ogólności, I może nie być całym R, jak na przykład dla otwartego dysku w R2. Każda γ rozciąga się na całą ℝ wtedy i tylko wtedy, gdy M jest geodezyjnie skończona.

Przepływ geodezyjnyEdit

Przepływ geodezyjny jest lokalnym oddziaływaniem R na wiązkę styczną TM rozmaitości M zdefiniowanym w następujący sposób

G t ( V ) = γ ˙ V ( t ) {displaystyle G^{t}(V)={dot {gamma }}_{V}(t)}

gdzie t ∈ R, V ∈ TM i γ V {displaystyle G^{t}(V)={dot {gamma _{V}}}

oznacza geodezyjną z danymi początkowymi γ ˙ V ( 0 ) = V {displaystyle {{V}(0)=V}}

. Zatem G t {{displaystyle G^{t}}

(V) = exp(tV) jest mapą wykładniczą wektora tV. Zamknięta orbita przepływu geodezyjnego odpowiada zamkniętej geody na M.

Na (pseudo)wielościanie Riemanniana przepływ geodezyjny jest utożsamiany z przepływem hamiltonowskim na wiązce kotangensów. Hamiltonian jest dany przez odwrotność (pseudo)metryki Riemanniana, obliczoną względem kanonicznej jednoformy. W szczególności przepływ zachowuje (pseudo)metrykę Riemannianina g {\i0}.

, tzn. g ( G t ( V ) , G t ( V ) ) = g ( V , V ) . {

W szczególności, gdy V jest wektorem jednostkowym, γ V {

W szczególności, gdy V jest wektorem jednostkowym, γ V {