De kinematische benadering wordt ongeldig wanneer het magnetisch veld sterk genoeg wordt om de vloeistofbewegingen te beïnvloeden. In dat geval wordt het snelheidsveld beïnvloed door de Lorentzkracht, en is de inductievergelijking niet langer lineair in het magnetische veld. In de meeste gevallen leidt dit tot een demping van de amplitude van de dynamo. Dergelijke dynamo’s worden soms ook hydromagnetische dynamo’s genoemd.Vrijwel alle dynamo’s in de astrofysica en geofysica zijn hydromagnetische dynamo’s.
Het hoofdidee van de theorie is dat elk klein magnetisch veld dat in de buitenkern bestaat, door de Lorenz-kracht stromingen in de bewegende vloeistof aldaar teweegbrengt. Deze stromen creëren verder magnetisch veld als gevolg van de wet van Ampere. Door de beweging van de vloeistof worden de stromen zodanig meegevoerd dat het magnetisch veld sterker wordt (zolang u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \maal \mathbf {B} )}
is negatief). Een “zaad”-magnetisch veld kan dus steeds sterker worden totdat het een waarde bereikt die gerelateerd is aan bestaande niet-magnetische krachten.
Numerieke modellen worden gebruikt om volledig niet-lineaire dynamo’s te simuleren. De volgende vergelijkingen worden gebruikt:
- De inductievergelijking, hierboven gepresenteerd.
- Maxwell’s vergelijkingen voor verwaarloosbaar elektrisch veld:
∇ ⋅ B = 0 {Displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}
∇ × B = μ 0 J {\displaystyle \nabla \maal \mathbf {B}} =\mu _{0}\mathbf {J} }
- De continuïteitsvergelijking voor behoud van massa, waarvoor vaak de Boussinesq-benadering wordt gebruikt:
∇ ⋅ u = 0 , {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0,}
- De Navier-Stokesvergelijking voor behoud van momentum, ook weer in dezelfde benadering, met de magnetische kracht en de gravitatiekracht als externe krachten:
D u D t = – 1 ρ 0 ∇ p + ν ∇ 2 u + ρ ′ g + 2 Ω × u + Ω × Ω × R + 1 ρ 0 J × B , {\displaystyle {D\frac {D\mathbf {u}} }{Dt}}=-{\frac {1}{\rho _{0}}}p+\nu ^{2}\mathbf {u} +\rho ‘\mathbf {g} +2 \tijden \tijden \tijden \mathbf {R} +{\frac {1}{\rho _{0}}}\mathbf {J} \times \mathbf {B},}
waar ν {\displaystyle \nu }
de kinematische viscositeit is, ρ 0 {\displaystyle \rho _{0}}
is de gemiddelde dichtheid en ρ ′ {\displaystyle \rho ‘}
de relatieve dichtheidsperturbatie is die voor opwaartse druk zorgt (voor thermische convectie ρ ′ = α Δ T {\displaystyle \rho ‘= \alpha \Delta T}
waarin α {\displaystyle \alpha }
de thermische uitzettingscoëfficiënt is), Ω {\displaystyle \Omega }
de rotatiesnelheid van de aarde is, en J {\displaystyle \mathbf {J} }
is de elektrische stroomdichtheid.
- Een transportvergelijking, meestal van warmte (soms van de concentratie van lichte elementen):
∂ T ∂ t = κ ∇ 2 T + ϵ {\displaystyle {\frac {{\partiële T}}=\kappa \nabla ^{2}T+\epsilon }
waarin T de temperatuur is, κ = k / ρ c p {\displaystyle \kappa =k/\rho c_{p}}
de thermische diffusie is met k warmtegeleidingscoëfficiënt, c p {\displaystyle c_{p}}
warmtecapaciteit, en ρ {\displaystyle \rho }
dichtheid, en ϵ {\displaystyle \epsilon }
is een optionele warmtebron. Vaak is de druk de dynamische druk, waarbij de hydrostatische druk en de centripetale potentiaal zijn verwijderd.
Deze vergelijkingen worden dan niet gedimensionaliseerd, waarbij de niet-dimensionale parameters worden geïntroduceerd,
R a = g α T D 3 ν κ , E = ν Ω D 2 , P r = ν κ , P m = ν η {\displaystyle Ra={\frac {g\alpha TD^{3}}{\nu \kappa }},E={\frac {\nu }{\Omega D^{2}},Pr={\frac {\nu }{\kappa }},Pm={\frac {\nu }{\eta }}
waar Ra het Rayleigh-getal is, E het Ekman-getal, Pr en Pm het Prandtl-getal en het magnetische Prandtl-getal. De schaal van het magnetisch veld wordt vaak uitgedrukt in Elsasser eenheden B = ( ρ Ω / σ ) 1 / 2 {Displaystyle B=(\rho / Omega )^{1/2}}
.
Energieomzetting tussen magnetische en kinematische energieEdit
Het scalair product van de bovenstaande vorm van de Navier-Stokes vergelijking met ρ 0 u {\displaystyle \rho _{0}\mathbf {u} }
geeft de toenamesnelheid van de kinetische energiedichtheid, ( 1 / 2 ) ρ 0 u 2 {\displaystyle (1/2)\rho _{0}u^{2}}
, aan de linkerkant. De laatste term aan het rechterlid is dan u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
, de lokale bijdrage aan de kinetische energie ten gevolge van de lorentzkracht.
Het scalair product van de inductievergelijking met ( 1 / μ 0 ) B {\displaystyle (1 / u _{0})\mathbf {B} }
geeft de toename van de magnetische energiedichtheid, ( 1 / 2 μ 0 ) B 2 {\displaystyle (1/2/m²) B^{2}}
, aan de linkerkant. De laatste term aan het rechterlid is dan ( 1 / μ 0 ) B ⋅ ( ∇ × ( u × B ) ) {\displaystyle (1/\mu _{0})\mathbf {B} \links(\nabla \tijden (\mathbf {u} \tijden \mathbf {B} )\rechts)}
. Aangezien de vergelijking volume-geïntegreerd is, is deze term tot en met een randterm (en met dubbel gebruik van de scalaire driewaardig productidentiteit) equivalent aan – u ⋅ ( ( 1 / μ 0 ) ( ∇ × B ) × B ) ) = – u ⋅ ( J × B ) {Displaystyle -\mathbf {u} \cdot \left((1/\mu _{0})(\nabla \times \mathbf {B} )\times \mathbf {B} )\right)=-\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
(waarbij een van de vergelijkingen van Maxwell werd gebruikt). Dit is de lokale bijdrage aan de magnetische energie ten gevolge van de vloeistofbeweging.
Dus de term – u ⋅ ( J × B ) {\displaystyle -\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
is de snelheid van omzetting van kinetische energie in magnetische energie. Deze moet ten minste in een deel van het volume niet-negatief zijn, wil de dynamo een magnetisch veld produceren.
Uit het bovenstaande diagram is niet duidelijk waarom deze term positief moet zijn. Een eenvoudig argument kan worden gebaseerd op de beschouwing van netto-effecten. Om het magnetische veld te creëren, moet de netto elektrische stroom zich om de rotatie-as van de planeet wikkelen. In dat geval, wil de term positief zijn, moet de netto stroom van geleidende materie in de richting van de draaiingsas zijn. Het diagram toont slechts een netto stroom van de polen aan de evenaar. Maar behoud van massa vereist een extra stroom van de evenaar naar de polen. Als die stroom langs de draaiingsas zou lopen, dan zou de circulatie worden gecompleteerd door een stroom van de getoonde naar de draaiingsas toe, waardoor het gewenste effect zou ontstaan.
Orde van grootte van het magnetisch veld dat door de dynamo van de aarde wordt opgewektEdit
De bovenstaande formule voor de omzettingssnelheid van kinetische energie in magnetische energie, komt overeen met een arbeidssnelheid van een kracht van J × B {\displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {B} }
op de buitenste kernmaterie, waarvan de snelheid u is {\displaystyle \mathbf {u} } }
. Deze arbeid is het resultaat van niet-magnetische krachten die op de vloeistof werken.
Van deze krachten zijn de gravitatiekracht en de centrifugale kracht conservatief en hebben daarom geen algemene bijdrage aan de vloeistof die in gesloten lussen beweegt. Het Ekman getal (hierboven gedefinieerd), dat de verhouding is tussen de twee overblijvende krachten, namelijk de viscositeit en de Corioliskracht, is zeer laag in de buitenkern van de aarde, omdat de viscositeit laag is (1,2-1.5 x10-2 pascal-seconde ) als gevolg van zijn vloeibaarheid.
Dus de belangrijkste tijdgemiddelde bijdrage aan het werk is van de Corioliskracht, waarvan de grootte – 2 ρ Ω × u {\displaystyle -2\rho \,\mathbf {\Omega } \maal \mathbf {u} }
, hoewel deze hoeveelheid en J × B {\displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {B} }
slechts indirect met elkaar in verband staan en in het algemeen plaatselijk niet gelijk zijn (zij beïnvloeden elkaar dus wel, maar niet op dezelfde plaats en tijd).
De stroomdichtheid J is zelf het resultaat van het magnetisch veld volgens de wet van Ohm. Ook hier geldt dat door de beweging van de materie en de stroming, dit niet noodzakelijkerwijs het veld op dezelfde plaats en tijd is. Toch kunnen uit deze relaties orden van grootte van de grootheden in kwestie worden afgeleid.
In termen van orde van grootte zijn J B ∼ ρ Ω u {\displaystyle J\,B\sim \rho \,\Omega \,u}
en J ∼ σ u B {\displaystyle J\sim \sigma uB}
, waardoor σ u B 2 ∼ ρ Ω u {\displaystyle \sigma \,u,B^{2}\sim \rho \,\Omega \,u}
, of: B ∼ ρ Ω σ {\an5} B\sim {\frac {\rho \,\Omega }{\sigma }}}}
De exacte verhouding tussen beide zijden is de vierkantswortel uit het getal van Elsasser.
Merk op dat de richting van het magnetisch veld niet uit deze benadering kan worden afgeleid (althans niet het teken ervan) omdat het kwadraat verschijnt, en soms zelfs omgekeerd is, hoewel het in het algemeen op een soortgelijke as ligt als die van Ω {\displaystyle \mathbf {\Omega } } }
.
Voor de buitenkern van de aarde is ρ ongeveer 104 kg/m3, Ω=2π/dag = 7,3×10-5 seconden en σ is ongeveer 107Ω-1m-1.Dit geeft 2,7×10-4 Tesla.
Het magnetisch veld van een magnetische dipool is omgekeerd kubisch afhankelijk van de afstand, zodat de orde van grootte aan het aardoppervlak kan worden benaderd door bovenstaand resultaat te vermenigvuldigen met (Router kern/aarde)3 = (2890/6370)3 = 0,093, hetgeen 2,5×10-5 Tesla oplevert, niet ver van de gemeten waarde van 3×10-5 Tesla aan de evenaar.