Una geodetica su un collettore liscio M con una connessione affine ∇ è definita come una curva γ(t) tale che il trasporto parallelo lungo la curva conserva il vettore tangente alla curva, quindi
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∇ γ ˙ γ ˙ = 0 {\displaystyle \nabla _{punto {\gamma }{ punto {\gamma }=0}
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(1) |
in ogni punto della curva, dove γ ˙ {displaystyle {punto {gamma }}
è la derivata rispetto a t {displaystyle t}
. Più precisamente, per definire la derivata covariante di γ ˙ {displaystyle {\dimensione {\gamma}}
è necessario prima estendere γ ˙ ˙ {displaystyle {\punto {\gamma }}
a un campo vettoriale continuamente differenziabile in un insieme aperto. Tuttavia, il valore risultante della (1) è indipendente dalla scelta dell’estensione.
Utilizzando le coordinate locali su M, possiamo scrivere l’equazione geodetica (usando la convenzione di somma) come
d 2 γ λ d t 2 + Γ μ ν λ d γ μ d t d γ ν d t = 0 , {\displaystyle {\frac {d^{2}gamma ^{\lambda}}{dt^{2}}}+\gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{frac {dgamma ^{\mu}{dt}}{\frac {dgamma ^{\lambda}=0} ,
dove γ μ = x μ ∘ γ ( t ) {displaystyle \gamma ^{\mu }=x^{\mu }circ \gamma (t)}
sono le coordinate della curva γ(t) e Γ μ ν λ {\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}
sono i simboli di Christoffel della connessione ∇. Questa è un’equazione differenziale ordinaria per le coordinate. Ha una soluzione unica, data una posizione iniziale e una velocità iniziale. Pertanto, dal punto di vista della meccanica classica, le geodetiche possono essere pensate come traiettorie di particelle libere in un collettore. Infatti, l’equazione ∇ γ ˙ γ ˙ = 0 {displaystyle \nabla _{dot {\gamma}=0}
significa che il vettore accelerazione della curva non ha componenti nella direzione della superficie (e quindi è perpendicolare al piano tangente alla superficie in ogni punto della curva). Quindi, il moto è completamente determinato dalla flessione della superficie. Questa è anche l’idea della relatività generale dove le particelle si muovono su geodetiche e la flessione è causata dalla gravità.
Esistenza e unicitàModifica
Il teorema di esistenza e unicità locale per le geodetiche afferma che le geodetiche su un manifold liscio con una connessione affine esistono e sono uniche. Più precisamente:
Per qualsiasi punto p in M e per qualsiasi vettore V in TpM (lo spazio tangente a M in p) esiste una geodetica unica γ {displaystyle \gamma \,}
: I → M tale che γ ( 0 ) = p {displaystyle \gamma (0)=p\,}
e γ ˙ ( 0 ) = V , {displaystyle {\punto {\gamma }(0)=V,}
dove I è un intervallo aperto massimo in R contenente 0.
La dimostrazione di questo teorema segue dalla teoria delle equazioni differenziali ordinarie, notando che l’equazione geodetica è una ODE del secondo ordine. Esistenza e unicità seguono poi dal teorema di Picard-Lindelöf per le soluzioni delle ODE con condizioni iniziali prescritte. γ dipende dolcemente sia da p che da V.
In generale, I può non essere tutto R come per esempio per un disco aperto in R2. Qualsiasi γ si estende a tutto ℝ se e solo se M è geodeticamente completo.
Flusso geodeticoModifica
Il flusso geodetico è un’azione locale di R sul fascio tangente TM di un collettore M definito nel modo seguente
G t ( V ) = γ ˙ V ( t ) {\displaystyle G^{t}(V)={\punto {\gamma }}_{V}(t)}
dove t ∈ R, V ∈ TM e γ V {displaystyle \gamma _{V}}
denota la geodetica con dati iniziali γ ˙ V ( 0 ) = V {displaystyle {\gamma}_{V}(0)=V}
. Quindi, G t {displaystyle G^{t}}
(V) = exp(tV) è la mappa esponenziale del vettore tV. Un’orbita chiusa del flusso geodetico corrisponde a una geodetica chiusa su M.
Su un (pseudo-)collettore Riemanniano, il flusso geodetico si identifica con un flusso hamiltoniano sul fascio cotangente. L’hamiltoniana è quindi data dall’inverso della metrica (pseudo-)riemanniana, valutata rispetto alla forma unica canonica. In particolare il flusso conserva la metrica (pseudo-)Riemanniana g {displaystyle g}
, cioè g ( G t ( V ) , G t ( V ) ) = g ( V , V ) . {In particolare, quando V è un vettore unitario, γ V {\displaystyle \gamma _{V}}
rimane sempre a velocità unitaria, quindi il flusso geodetico è tangente al fascio tangente unitario. Il teorema di Liouville implica l’invarianza di una misura cinematica sul fascio tangente unitario.
Spruzzo geodeticoEdit
Il flusso geodetico definisce una famiglia di curve nel fascio tangente. Le derivate di queste curve definiscono un campo vettoriale sullo spazio totale del fascio tangente, noto come spruzzo geodetico.
Più precisamente, una connessione affine dà luogo a una scissione del doppio fascio tangente TTM in fasci orizzontali e verticali:
T T M = H ⊕ V . {TTM=H ⊕ V.}
Lo spruzzo geodetico è l’unico campo vettoriale orizzontale W che soddisfa
π ∗ W v = v {\displaystyle \pi _{*}W_{v}=v\,}
in ogni punto v ∈ TM; qui π∗ : TTM → TM denota la spinta (differenziale) lungo la proiezione π : TM → M associata al fascio tangente.
Più in generale, la stessa costruzione permette di costruire un campo vettoriale per qualsiasi connessione di Ehresmann sul fascio tangente. Affinché il campo vettoriale risultante sia uno spruzzo (sul fascio tangente cancellato TM \0}) è sufficiente che la connessione sia equivariante sotto rescaling positivo: non è necessario che sia lineare. Cioè (cfr. Connessione di Ehresmann#Fasci vettoriali e derivate covarianti) è sufficiente che la distribuzione orizzontale soddisfi
H λ X = d ( S λ ) X H X {displaystyle H_{\\lambda X}=d(S_{\lambda })_{X}H_{X}\,}
per ogni X ∈ TM \0} e λ > 0. Qui d(Sλ) è la spinta in avanti lungo l’omotetia scalare S λ : X ↦ λ X . {\displaystyle S_{\lambda }:X\mapsto \lambda X.}
Un caso particolare di una connessione non lineare che nasce in questo modo è quella associata ad un manifold di Finsler.
Geodetiche affini e proiettiveModifica
L’equazione (1) è invariante sotto riparametrizzazioni affini; cioè, parametrizzazioni della forma
t ↦ a t + b {displaystyle t\mapsto at+b}
dove a e b sono numeri reali costanti. Così, oltre a specificare una certa classe di curve incorporate, l’equazione geodetica determina anche una classe preferita di parametrizzazioni su ciascuna delle curve. Di conseguenza, le soluzioni della (1) sono chiamate geodetiche con parametro affine.
Una connessione affine è determinata dalla sua famiglia di geodetiche parametrizzate in modo affine, fino alla torsione (Spivak 1999, Capitolo 6, Addendum I). La torsione stessa non influenza, infatti, la famiglia di geodetiche, poiché l’equazione geodetica dipende solo dalla parte simmetrica della connessione. Più precisamente, se ∇ , ∇ ¯ {\displaystyle \nabla ,{\bar {\nabla }}}
sono due connessioni tali che il tensore di differenza D ( X , Y ) = ∇ X Y – ∇ ¯ X Y {displaystyle D(X,Y)=\nabla _{X}Y-{\bar {\nabla }}_{X}Y}
